初等數論

古希臘畢達哥拉斯是初等數論的先驅。他與他的學派致力於一些特殊整數（如親和數、完全數、多邊形數）及特殊不定方程的研究。公元前4世紀，歐幾里德的《幾何原本》通過102個命題，初步建立了整數的整除理論。他關於“素數有無窮多個”的證明，被認為是數學證明的典範。

初等數論已經有2000年的歷史，公元前300年，歐幾里得發現了素數是數論的基石，他自己證明了有無窮多個素數。公元前250年古希臘數學家埃拉託塞尼發明了一種篩法。2000年來，數論學的一個最重要的任務，就是尋找一個可以表示所有素數的統一公式，或者稱為素數普遍公式，為此，人類耗費了巨大的心血。後來發現埃拉託塞尼篩法可以轉換成為一個素數產生的公式：

公元前250年同樣是古希臘的數學家埃拉託塞尼提出一種篩法：

（一）“要得到不大於某個自然數n（不等於0）的所有素數，只要在2至n中將不大於

的素數的倍數全部劃去即可”。

（二）將上面的內容等價轉換：“如果n是合數（非0自然數），則它有一個因子d滿足

”。 ^[1] 

（三）再從（二）得到等價的逆否命題：“若自然數n不能被不大於

的任何素數整除，則n是一個素數”。 ^[2] 

（四）上述的（三）可以用符號如此表達：

N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=pkmk+ak （1）

其中

p1，p2，.....，pk順序地表示素數2，3，5，...。a≠0。即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，pkm+0形。若

，則N是一個素數。

（五）可以把上述的式（1）用同餘式組表示：

N≡a1(modp1）， N≡a2(modp2），.....，N≡ak（modpk）（2）

例如，29不能夠被

以下的任何素數2，3，5整除，29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。

29≡1(mod2)，29≡2(mod3)， 29≡4(mod5)。29小於7²=49 ，所以29是一個素數。

由於（2）的模

p1，p2，....，pk兩兩互素，根據孫子定理（中國剩餘定理）知，（2）式在p1，p2，.....，pk範圍內有唯一解。

例如k=1時

，N=2m+1，解得N=3，5，7。求得了（3，3²）區間的全部素數。

k=2時，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19；N=2m+1=3m+2，解得N=5，11，17，23。如此，求得了（5，5² ）區間的全部素數。

仿此下去可以求得任意給定數以內的全部素數。

(六)用程序方法求素數。“若一個自然數n，判斷n/k是否整除，先判斷其能否整除2，若不能再判斷其能否整除3，依次向下判斷，當k>(n/k)時，判斷結束。”如果所有判斷都不能整除，則自然數N為素數。

公元3世紀，丟番圖研究了若干不定方程，並分別設計巧妙解法，故後人稱不定方程為丟番圖方程。17世紀以來，費馬、歐拉、高斯等人的工作大大豐富和發展了初等數論的內容。

中國古代對初等數論的研究有着光輝的成就，《周髀算經》、《孫子算經》、《張邱建算經》、《數書九章》等古文獻上都有記載。孫子定理比歐洲早500年， 西方常稱此定理為中國剩餘定理，秦九韶的大衍求一術也馳名世界。初等數論不僅是研究純數學的基礎，也是許多學科的重要工具。它的應用是多方面的，如計算機科學、組合數學、密碼學、信息論等。如公開密鑰體制的提出是數論在密碼學中的重要應用。

1.整除理論。引入整除、因數、倍數、質數與合數等基本概念。這一理論的主要成果有：唯一分解定理、裴蜀定理、歐幾里德的輾轉相除法、算術基本定理、素數個數無限證明。

2.同餘理論。主要出自於高斯的《算術研究》內容。定義了同餘、原根、指數、平方剩餘、同餘方程等概念。主要成果：二次互反律、歐拉定理、費馬小定理、威爾遜定理、孫子定理（即中國剩餘定理）等等。

3.連分數理論。引入了連分數概念和算法等等。特別是研究了整數平方根的連分數展開。主要成果：循環連分數展開、最佳逼近問題、佩爾方程求解。

4.不定方程。主要研究了低次代數曲線對應的不定方程，比如勾股方程的商高定理、佩爾方程的連分數求解。也包括了四次費馬方程的求解問題等等。

5.數論函數。比如歐拉函數、莫比烏斯變換等等。

6.高斯函數。

第一個層次叫做數學概念，是反映對象的本質屬性的思維形式。人類在認識過程中，從感性認識上升到理性認識，把所感知的事物的共同本質特點抽象出來，加以概括，就成為概念。表達概念的語言形式是詞或詞組。科學概念，特別是數學概念要求更加嚴格，至少必須具備三個條件：專一性，精確性，可以檢驗。例如：”孿生素數“就是一個數學概念。

第二個層次叫做數學命題，數學命題是對一系列數學概念之間的關係作出判斷的句子。一個命題要麼真，要麼不真（這由邏輯中的排中律保證）。真命題包含定理，引理，推論，事實等。命題既可以是存在性命題（表述為”存在......."），也可以是全稱命題（表述為“對於一切....."）。

第三個層次叫做數學理論，把方法，公式，公理，定理，原理，組合成為一個體系叫做數學理論。例如“初等數論”，由公理（例如等量公理），定理（例如費馬小定理），原理（例如抽屜原理，一一對應原理），公式等組成。

在數學證明時，全稱命題常常不能通過枚舉法來判斷真偽，這是因為數學有時面對的是無窮多個對象，永遠不可能一一枚舉出每一種情況。不完全歸納法在數學中是不可行的，數學只承認演繹邏輯（數學歸納法，超限歸納法等均屬於演繹邏輯）。 ^[3] 

費馬在古典數論領域中的成果很多，比如提出了不定方程無解證明的無窮遞降法，引入了費馬數等等。

費馬小定理：a^p-a≡0(mod p)，其中p是一個素數，a是正整數。

事實上它是歐拉定理的一個特殊情況，Euler定理是説：a^φ(n)-1≡0(mod n),a，n都是正整數且互素，φ(n)是Euler函數，表示和n互素的小於n的正整數的個數。

費馬大定理（當時是猜想）：n>2是整數，則方程x^n+y^n=z^n沒有滿足xyz≠0的整數解。這個是不定方程，它已經由英國數學家安德魯·懷爾斯證明了(1995年)，證明的過程相當艱深。 ^[3] 

歐拉(2張)

引入歐拉函數，得到著名的歐拉定理——費馬小定理推廣；研究了連分數展開問題；用解析方法證明了素數無限；討論平方和問題及哥德巴赫猜想——加性數論內容。 ^[3] 

高斯(2張)

被譽為“數學王子”。解決了正多邊形尺規作圖問題，將它和費馬數聯繫起來。高斯的著作《算術研究》提出了同餘理論，討論了平方剩餘問題，發現了二次互反律。高斯提出了著名的素數定理（當時是猜想），研究了指標和估計問題——表示論的雛形。 ^[3]