孿生素數猜想

孿生素數猜想是數論中的著名未解決問題。這個猜想產生已久；在數學家希爾伯特在1900年國際數學家大會的著名報告中，它位列23個“希爾伯特問題”中的第8個問題，可以被描述為“存在無窮多個素數p，並且對每個p而言，有p+2這個數也是素數”。

孿生素數即相差2的一對素數。例如3和5 ，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孿生素數。

素數定理説明了素數在趨於無窮大時變得稀少的趨勢。而孿生素數，與素數一樣，也有相同的趨勢，並且這種趨勢比素數更為明顯。

由於孿生素數猜想的高知名度以及它與哥德巴赫猜想的聯繫，因此不斷有學術共同體外的數學愛好者試圖證明它。有些人聲稱已經證明了孿生素數猜想。然而，尚未出現能夠通過專業數學工作者審視的證明。

1849年，波利尼亞克（Alphonse de Polignac）提出了更一般的猜想：對所有自然數k，存在無窮多個素數對 (p, p + 2k)。k = 1的情況就是孿生素數猜想。素數對 (p, p + 2)稱為孿生素數。數學家們相信這個猜想是成立的。

2013年5月，張益唐的論文《素數間的有界距離》在《數學年刊》上發表，破解了困擾數學界長達一個半世紀的難題，證明了孿生素猜想的弱化形勢，即發現存在無窮多差小於7000萬的素數對。這是第一次有人證明存在無窮多組間距小於定值的素數對。 ^[1] 

素數——那些因數除了1就是他們本身的數們——就像代數的原子一樣。從歐幾里得——他在2000年前證明了素數有無窮多個——開始，它們就讓無數數學家們為之傾倒。

因為素數從根本上和乘法相關，理解他們和加法相關的性質就變得很困難。一些數學上最古老的未解之謎就和素數和加法相關，其中之一就是孿生素數猜想——存在無限多組差為2的素數對。另一個則是哥德巴赫猜想，這個猜想提出所有的偶數都可以表示為兩個素數之和。

在自然數列的起始部分存在着大量的素數，但是隨着數字變大，他們變得越來越稀少。舉例來説，在前10個自然數里，40%都是素數——2，3，5和7——但是在所有的10位數里，僅有4%的數是素數。 在過去的一個世紀裏，數學家們掌握了素數減少的規律：在大數中，連個素數之間的間隔大約是位數的2.3倍。舉例説明，在100位的數中，兩個素數的平均間隔大約是230。

但是這只是平均而言。素數通常比平均預計的更加緊密的出現，或者相隔更遠。具體來説，“孿生”素數通常扎堆出現，比如3和5還有11和13，他們的差僅為2。而在大數中，孿生素數似乎從沒有完全消失（目前發現的最大的孿生素數是3,756,801,695,685×2^666,669-1和3,756,801,695,685×2^666,669+1）。

1849年，法國數學家阿爾方·波利尼亞克提出了“波利尼亞克猜想”：對所有自然數k，存在無窮多個素數對(p,p+2k)。k等於1時就是孿生素數猜想，而k等於其他自然數時就稱為弱孿生素數猜想（即孿生素數猜想的弱化版）。因此，有人把波利尼亞克作為孿生素數猜想的提出者。

從那時開始，這些猜想的內在吸引力冠予了它們數學的聖盃的稱號，雖然他們可能沒有實際的應用價值。雖然有很多數學家們致力於證明這一猜想，他們還是不能排除素數的間隔會一直增長最終超過一個特定上限的可能。

1921年，英國數學家戈弗雷·哈代和約翰·李特爾伍德提出一個與波利尼亞克猜想類似的猜想，通常稱為“哈代-李特爾伍德猜想”或“強孿生素數猜想”（即孿生素數猜想的強化版）。這一猜想不僅提出孿生素數有無窮多對，而且還給出其漸近分佈形式。

2013年5月，張益唐在孿生素數研究方面所取得的突破性進展，他證明了孿生素數猜想的一個弱化形式。在最新研究中，張益唐在不依賴未經證明推論的前提下，發現存在無窮多個之差小於7000萬的素數對，從而在孿生素數猜想這個重要問題的道路上前進了一大步。

張益唐的論文在5月14號在網絡上公開，5月21日正式發表 ^[2]  。5月28號，這個常數下降到了6000萬。僅僅過了兩天的5月31號，下降到了4200萬。又過了三天的6月2號，則是1300萬。次日，500萬。6月5號，40萬。

在英國數學家Tim Gowers等人發起的“Polymath”計劃中，孿生素數問題成為了一個在全球數學工作者中利用網絡進行合作的一個典型。人們不斷的改進張益唐的證明，進一步拉近了與最終解決孿生素數猜想的距離。在2014年2月，張益唐的七千萬已經被縮小到246。

質數（prime number）又稱素數，有無限個。一個大於1的自然數，除了1和它本身外，不能整除以其他自然數（質數），換句話説就是該數除了1和它本身以外不再有其他的因數；否則稱為合數。根據算術基本定理，每一個比1大的整數，要麼本身是一個質數，要麼可以寫成一系列質數的乘積；而且如果不考慮這些質數在乘積中的順序，那麼寫出來的形式是唯一的。最小的質數是2。

只有1和它本身兩個因數的自然數，叫質數（或稱素數）。（如：由2÷1=2，2÷2=1，可知2的因數只有1和它本身2這兩個約數，所以2就是質數。與之相對立的是合數：“除了1和它本身兩個因數外，還有其它因數的數，叫合數。”如：4÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很顯然，4的因數除了1和它本身4這兩個因數以外，還有因數2，所以4是合數。）

100以內的質數有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，在100內共有25個質數。

質數的個數是無窮的。歐幾里得的《幾何原本》中有一個經典的證明。它使用了證明常用的方法：反證法。具體證明如下：假設質數只有有限的n個，從小到大依次排列為p1，p2，……，pn，設N=p1×p2×……×pn，。如果N+1為素數，則N+1要大於p1，p2，……，pn，所以它不在那些假設的素數集合中。如果N+1為合數，因為任何一個合數都可以分解為幾個素數的積；而N和N+1的最大公約數是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以該合數分解得到的素因數肯定不在假設的素數集合中。

因此無論該數是素數還是合數，都意味着在假設的有限個素數之外還存在着其他素數。所以原先的假設不成立。也就是説，素數有無窮多個。

其他數學家給出了一些不同的證明。歐拉利用黎曼函數證明了全部素數的倒數之和是發散的，恩斯特·庫默的證明更為簡潔，HillelFurstenberg則用拓撲學加以證明。 ^[3]