素數普遍公式

...(1)

2000多年前歐幾里德在證明素數無窮多時就埋下了尋求素數普遍公式的伏筆，以布勞維爾為首的直覺主義學派認為：“你沒有給出第n個素數是如何構造的，就不能算是好的證明”。2000多年來，數論學最重要的一個任務，就是尋找素數普遍公式，為此，一代又一代數學精英，耗費了巨大的心血，始終未獲成功。

公元前250年同樣是古希臘的數學家埃拉託塞尼提出一種篩法：

（一）“要得到不大於某個自然數N的所有素數，只要在2---N中將不大於

的素數的倍數全部劃去即可”。

（二）將上面的內容等價轉換：“如果N是合數，則它有一個因子d滿足1<d≤

”。（《基礎數論》13頁，U杜德利著，上海科技出版社）。.

（三）再將（二）的內容等價轉換：“若自然數N不能被不大於

的任何素數整除，則N是一個素數”。見（代數學辭典[上海教育出版社]1985年。屜部貞世朗編。259頁）。

（四）這句話的漢字可以等價轉換成為用英文字母表達的公式：

...(1)

其中

表示順序素數2，3，5，,,,,。

。若N<

，則N是一個素數。

（五）可以把（1）等價轉換成為用同餘式組表示：

由於（2）的模

兩兩互素，根據孫子定理（

範圍內有解。

例如k=1時，

，解得N=3，5，7。求得了（3，

）區間的全部素數。

k=2時，

，解得N=7，13，19；

，解得N=5，11，17，23。求得了（5，

）區間的全部素數。

求得了（7，

）區間的全部素數。

仿此下去可以一個不漏地求得任意給定數以內的全部素數。

怎樣使得兩個自然數相加和相減都成為素數(參見台爾曼公式)，即n+X成為素數 ^[4]  ，n-X也是素數。根據除法算式定理：“給定正整數a和b，b≠0，存在唯一整數q和r（0≤r<b），使a=bq+r”。再根據同餘定理：“每一整數恰與0,1,2,3，...，m-1中一數同餘（mod m）”。所以，任給一個自然數n (n>4)，都可以唯一表示成：

......(3)

其中：其中

表示順序素數2，3，5，,,,,。

。

是否存在：

......(4)

並且：

；

。

這樣解得的

，

,，如果

，則

與

都是素數。

因為：

，,這個就是哥德巴赫猜想。

設n=20，

構造

:

四個解是：21，27，3，9。小於N-2的X有3和9，

我們得知，20+3與20-3是一對素數；20+9與20-9是一對素數。

這就是利用素數判定法則：最小剩餘不為零，並且果

，n+X與n-X是一對素數。因為（n+X）+（n-X）=2n。這就是著名的哥德巴赫猜想猜想， 我們需要證明（4）式必然有小於n-2的解，儘管我們現在不能證明它。 埃拉託斯特尼篩法的普遍公式已經為哥德巴赫猜想提供了合理框架，並且把問題轉入到初等數論範圍。

　公式　 ^[3]  孿生素數有一個十分精確的孿生素數公式，利用素數判定法則：“若自然數

與

都不能被不大於

的任何素數整除，則

與

是一對素數，稱為孿生素數。這一句話用數學語言表達就是：

存在一組自然數

使得：

......(5)

其中

表示順序素數2，3，5，....。

。

若

，,則

與

是一對孿生素數。

上式可以用同餘式組表示：

......(6)。

由於（6）式的模

兩兩互素，根據孫子（中國剩餘）定理，對於給定的b值,（6）式在

範圍內有唯一的解。

例如，k=1時，

，解得

=3和5，5<

，得知3與3+2，5與5+2是兩對孿生素數。從而得到了

區間的全部孿生素數。

k=2時，

=

。解得

=5，11，17。17<

，得知11與11+2，17與17+2是孿生素數對，從而得到

區間的全部孿生素數。

仿此下去可以一個不漏地求得任意給定數以內的全部孿生素數

孿生素數猜想就是要證明（4）式或者（5）式在k值任意大時都有小於

的解。問題已經轉入到初等數論範圍。