孿生素數公式

利用素數的判定法則 ^[2]  ，可以得到以下的結論：「若自然數

與

都不能被任何不大於

的素數 整除，

則

與

都是素數，稱為孿生素數」。

這是因為一個自然數

是素數當且僅當它不能被任何小於等於

的素數整除，就是：

存在一組自然數

，使得

............(1)

其中

表示從小到大排列時的前k個素數：2，3，5，....。並且滿足

這樣解得的自然數如果滿足

，則

與

是一對孿生素數。

我們可以把（1）式的內容等價轉換成為同餘方程組表示：

........(2)

由於（2）的模

都是素數，因此兩兩互素，根據孫子定理，對於給定

，

（2）式在

範圍內有唯一一個小於的正整數解。

例如k=1時，

，

解得

。

由於

，所以可知3與3+2 ；5與5+2都是孿生素數。這樣就求得了

區間裏的全部孿生素數對。

又比如k=2時，

列出方程

，解得

。

由於

，所以11與11+2 ；17與17+2都是孿生素數。

由於這已經是所有可能的

，值，所以這樣就求得了

區間的全部孿生素數對。

由於這已經是所有可能的值

，所以這樣就求得了

區間的全部孿生素數對。

仿此下去可以一個不漏地求得任意大的數以內的全部孿生素數對 ^[1]  。

孿生素數猜想就是在k值任意大時，（1）式（2）式都有

的解。問題已經轉入初等數論範圍。作者在埃及工作照（參見素數普遍公式）