數論函數

數論函數亦稱算術函數，一類重要的函數，指定義在正整數集上的實值或復值函數，更一般地，也可把數論函數看做是某一整數集上定義的函數 ^[1]  ，例如

以正整數為定義域的函數ƒ(n)，例如數列{αn}、階乘n!、冪nλ等都是數論函數。

設n的標準分解式為

。

①麥比烏斯函數

易知

式中和號表示d過n的所有因數。

② 歐拉函數φ(n) 表示與 n互素且不超過n的正整數的個數，易證

這裏(m,n)=d。1801年，C.F.高斯證明了。關於歐拉函數，有一個迄今尚未解決的猜想：不存在

複合數n使得φ(n)|n^-1 。這個猜想是1932年由D.H.萊默爾提出來的。1962年，柯召和孫琦證明了這樣的複合數存在，n至少是12 個不同的奇素數的乘積；1980年，G.L.科恩和P.哈吉斯用計算機改進到 n至少是 14 個不同的奇素數的積。

③除數函數

當u≠0時，則有

當u=0時，

σ1(n)=σ(n)，正整數n滿足σ(n)=2n時，n就叫做完全數。

設ƒ₁(n) 和ƒ₂(n) 是兩個數論函數，則叫做ƒ₁(n) 和ƒ₂(n) 的狄利克雷卷積，記為ƒ₁(n)*ƒ₂(n)=ƒ(n) 。顯然，ƒ(n)也是一個數論函數，且有

這裏ƒ₃(n) 也是一個數論函數。狄利克雷卷積是研究數論函數的重要概念。可以證明：全體ƒ(1)≠0 的數論函數ƒ(n) ，對於狄利克雷乘積 * 組成一個阿貝爾羣。

若gcd (m,n)=1 ，有ƒ(mn)=ƒ(m)ƒ(n) ，稱數論函數ƒ(n) 為積性函數。

若對任意正整數 m、n，有ƒ(mn)=ƒ(m)ƒ(n) ，則稱數論函數 ƒ(n) 為完全積性函數，例如μ(n)、φ(n)、σu(n)是積性函數，但不是完全積性函數。曼格爾德特函數 Λ(n) 是非積性函數。

積性函數有下列性質：

①若 ƒ(n) 是一個非恆等於 0 的積性函數，則有 ƒ(1)=1 ；

②若 ƒ₁(n) 和 ƒ₂(n) 都是積性函數，則 ƒ₁(n)*ƒ₂(n) 也是積性函數；

③若 ƒ₁(n)*ƒ₂(n) 和 ƒ₂(n) 是積性函數，則 ƒ₁(n) 也是積性函數。