阿貝爾羣

阿貝爾羣是Camille Jordan以挪威數學家尼爾斯·阿貝爾命名，他首先察覺到了阿貝爾首先發表的這種與根式可解性的聯繫的重要性。由阿貝爾羣分解定理， 任何阿貝爾羣可以分解成一些整數羣和剩餘類羣的直和， 這個分解是唯一的， 其中分解出來的整數羣的個數稱為阿貝爾羣的秩。比阿貝爾羣更廣泛的概念是模的概念，阿貝爾羣就是整數環上的模。阿貝爾羣有兩個傳統的記號方式：加法及乘法。常用加法表示羣運算。 ^[2] 

亦稱交換羣。一種重要的羣類。對於羣G中任意二元a，b，一般地，ab≠ba.若羣G的運算滿足交換律，即對任意的a，b∈G都有ab=ba，則稱G為阿貝爾羣。由於阿貝爾(Abel，N.H.)首先研究了交換羣，所以通常稱這類羣為阿貝爾羣。交換羣的運算常用加法來表示，此時羣的單位元用0(零元)表示，a的逆元記為-a(稱為a的負元).用加法表示的交換羣稱為加法羣或加羣。

阿貝爾羣是有着羣運算符合交換律性質的羣，因此阿貝爾羣也被稱為交換羣。它由自身的集合 G 和二元運算 * 構成。它除了滿足一般的羣公理，即運算的結合律、G 有單位元、所有 G 的元素都有逆元之外，還滿足交換律公理

因為阿貝爾羣的羣運算滿足交換律和結合律，羣元素乘積的值與乘法運算時的次序無關。

而羣運算不滿足交換律的羣被稱為“非阿貝爾羣”，或“非交換羣”。

設<G,*>是一個羣，<G,*>是阿貝爾羣的充要條件是對任意的a,b∈G,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。

任何一個循環羣必定是阿貝爾羣。

阿貝爾羣有兩種主要運算符號 — 加法和乘法。

一般地説，乘法符號是羣的常用符號，而加法符號是模的常用符號。當同時考慮阿貝爾羣和非阿貝爾羣時，加法符號還可以用來強調阿貝爾羣是特定羣。

驗證有限羣是阿貝爾羣，可以構造類似乘法表的一種表格(矩陣)，它稱為凱萊表。如果羣 G = {g1 = e, g2, ..., gn} 在運算 ⋅ 下，則這個表的第 (i, j) 個表項包含乘積 gi ⋅ gj。羣是阿貝爾羣當且僅當這個表是關於主對角線是對稱的(就是説這個矩陣是對稱矩陣)。

這是成立的因為如果它是於阿貝爾羣，則 gi ⋅ gj = gj ⋅ gi。這藴含了第 (i, j) 個表項等於第 (j, i) 個表項，就是説這個表示關於主對角線對稱的。

整數集和加法運算 "+" 是阿貝爾羣，指示為 (Z,+)，運算 + 組合兩個整數形成第三個整數，加法是符合結合律的，零是加法單位元，所有整數 n 都有加法逆元 −n，加法運算是符合交換律的因為對於任何兩個整數 m 和 n 有 m + n = n + m。

所有循環羣 G 是阿貝爾羣。因此整數集 Z 形成了在加法下的阿貝爾羣，整數模也是。

所有環都是關於它的加法運算的阿貝爾羣。在交換環中的可逆元形成了阿貝爾乘法羣。特別是實數集是在加法下的阿貝爾羣，非零實數集在乘法下是阿貝爾羣。

所有阿貝爾羣的子羣都是正規子羣，所以每個子羣都引發商羣。阿貝爾羣的子羣、商羣和直和也是阿貝爾羣。

矩陣即使是可逆矩陣，一般不形成在乘法下的阿貝爾羣，因為矩陣乘法一般是不可交換的。但是某些矩陣的羣是在矩陣乘法下的阿貝爾羣 - 一個例子是 2x2 旋轉矩陣的羣。 ^[3] 

如果n是自然數而x是使用加號的阿貝爾羣G的一個元素，則nx可以定義為x + x + ... + x（n個數相加）並且（−n）x = −（nx）。以這種方式，G變成在整數的環Z上的模。事實上，在Z上的模都可以被識別為阿貝爾羣。

關於阿貝爾羣（比如在主理想整環Z上的模）的定理經常可以推廣到在任意主理想整環上的模。典型的例子是有限生成阿貝爾羣的分類是在主理想整環上的有限生成模的結構定理的特殊情況。在有限生成阿貝爾羣的情況下，這個定理保證阿貝爾羣可以分解為撓羣和自由阿貝爾羣的直和。前者可以被寫為形如Z/pkZ對於素數p的有限多個羣的直和，而後者是有限多個Z的複本的直和。

如果f, g : G → H是在阿貝爾羣之間的兩個羣同態，則它們的和f + g，定義為(f + g)(x) = f(x) + g(x)，也是阿貝爾同態。（如果H是非阿貝爾羣則這就不成立。）所有從G到H的羣同態的集合Hom(G, H)因此是自身方式下的阿貝爾羣。

某種程度上類似於向量空間的維度，所有阿貝爾羣都有秩。它定義為羣的線性無關元素的最大集合的勢。整數集和有理數集和所有的有理數集的子羣都有秩1。

挪威數學家。他在中學時代已自學歐拉、拉格朗日和高斯等著名數學家的著作。讀大學時試圖用代數方法解一般五次方程，這使他發現：用根式解一般五次以上的方程是不可能的，在他1826年的著名論文中給出了證明，使得這個困擾數學家幾百年的問題終於得到了解決。他在與此有關的一系列工作中已經引入了羣和域的概念，發現元素相乘可交換的羣對方程的可解性理論有重要意義。因此，後人把交換羣稱為阿貝爾羣，他還研究了一類代數方程，它們是可以用根式求解的，現在叫阿貝爾方程。阿貝爾對數學分析的發展及其嚴格化也作出了卓越的貢獻，其中不少結果以他的名字命名，我們熟知的有：阿貝爾積分、阿貝爾積分方程，關於導出阿貝爾函數的代數函數的積分的和的阿貝爾定理，無窮級數的阿貝爾判斂法，關於冪級數的阿貝爾定理等。他又與雅可比在友好的競爭中共同創立了橢圓函數理論，儘管有如此傑出的成就，他卻沒有及時地得到數學界的承認。他一生貧窮，並且由於得了肺病沒能得到一個教學職務。在他27歲那年，柏林大學終於聘他為數學教授，但聘書寄到時，已是他去世後第3天了。 ^[4]