同態

假設M，S是兩個乘集，也就是説M和S是兩個各具有一個封閉的具有結合律的運算*與·的代數系統。σ是M射到S的映射，並且任意兩個元的乘積的像是這兩個元的像的乘積，即對於M中任意兩個元a、b，滿足σ(a*b)=σ(a)·σ(b)；也就是説，當a→σ(a)，b→σ(b)時，a*b→σ(a)·σ(b)，那麼這映射σ就叫做M到S上的同態。

設E與F為兩個羣胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤。 稱從E到F中的映射f是羣胚同態，如果對於E的任一元素偶(x，y)，有：

設E與F為兩個幺半羣(兩個羣)，稱從E到F中的映射。f是幺半羣(羣)的同態，如果f是羣胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素。 (在羣的情況下，後一個條件是自然滿足的，但是從加法幺半羣N到乘法幺半羣N的映射x↦0是羣胚的同態， 而並不因此就是幺半羣的同態)。

設G為乘法羣，而a為G的元素。由關係f(n)=an所定義的從加法羣Z到G中的映射f是羣的同態。

設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法羣的同態，且為乘法麼半羣的同態. 這就是説，對A的任一元素偶(x，y)，有f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，並且f將A的單位元變成B的單位元。

如內自同構就是一個常見的同態，且是一個自同構。

例如，設n為非零自然數；使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態。設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)。稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法羣胚(乘法幺半羣)的同態。

例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基。則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。

同態的概念能用抽象的方式加以推廣。

如果 σ 是單射， 則稱為單同態；如果 σ 是滿射，則稱為滿同態（此時也會稱M和S為同態）；如果σ是雙射， 則稱為同構（記作σ :M≈S），若M=S，則稱σ為自同構。

如果M, S都是羣， 那麼同態也叫做羣同態或羣映射； ^[1]  單同態也叫做羣單射；滿同態也叫做羣滿射。

範疇論的基本概念之一。稱C是一個範疇，是指C滿足下述六點：

1.C有一個對象類{A，B，C，…}(不要求它是一個集合，即不要求它滿足集合論的公理，只要求能判別出是不是它的對象)，常記為ObjC或簡記C。

2.對C的任兩對象A，B，有一個確定的集合(可為空集)Hom(A，B)，其元素稱為由A到B的態射，記為f∈Hom(A，B)或f：A→B。

3.對給定的f∈Hom(A，B)與g∈Hom(B，C)有惟一的gf∈Hom(A，C)，稱為f與g的合成。

4.Hom(A，B)與Hom(C，D)有公共元是指A=C且B=D。

5.態射合成滿足結合律。

6.對C的任意對象A，Hom(A，A)至少有一個元素ε_A使對σ∈Hom(A，B)恆有σε_A=σ=ε_Bσ，稱ε_A為A的恆等態射(ε_B為B的恆等態射)。

例如，以一切集合作對象，以集合映射作態射，則得集合範疇Set(簡稱集範疇)。以一切拓撲空間作對象，以連續映射作態射，則得拓撲空間範疇Top。以一切環為對象，以環同態作為態射得環範疇Ring。類似地，可得羣範疇Group，阿貝爾羣範疇AG，環R上的左R模範疇_RM等。以自然數為對象，a|b(表示a整除b)時定義Hom(a，b)有惟一元素φ_ab，ab時定義Hom(a，b)=(空集)，也得到一個範疇。一般地，對每個擬序集都可仿此定義範疇。

兩個環之間的一種映射。設φ是環R到R′的一個映射，若它保持環的加法和乘法運算，即對任意a，b∈R有φ(a+b)=φ(a)+φ(b);　φ(ab)=φ(a)φ(b)，則稱φ為R到R′的同態。

在φ下R在R′中的像集記為Imφ，稱為φ的同態像。R中一切在φ下的像等於零的元素的集合，記為ker φ={x∈R|φ(x)=0}，稱為φ的同態核。

若Imφ=R′，即對R′中任意元a′恆存在R中元a使得φ(a)=a′，則稱φ為R到R′的滿同態，或稱為R到R′上的同態，簡稱R同態於R′，記為R～R′。

設φ是R到R′的同態，若R中不同元素在φ下的像也不同，則稱φ為單同態。φ為單同態當且僅當ker φ=0。當R′=R時φ稱為R的自同態。 ^[2]