內自同構

在抽象代數的羣論中，內自同構是羣的自同構的一種。設g為羣G的一個元素，則g對應的內自同構，是以g的共軛作用定義如下

羣G的一個自同構，如果是G的元素的共軛作用，便稱為內自同構。

內自同構(inner automorphism)是一類特殊的自同構，若g是羣G中一個元，則映射給出羣G的一個自同構，稱這樣的自同構為羣G的內自同構。

羣G的所有內自同構在映射的合成運算下構成一個羣，稱為G的內自同構羣，常記為Inn (G)。若G為交換羣，則Inn(G)={1}。羣G的內自同構羣是它的自同構羣的正規子羣，羣G的內自同構羣同構於商羣G/Z(G)，其中Z(G)為G的中心，即Inn (G)-G/Z (G)。羣G的不是內自構的自同構稱為外自同構.商羣Out (G) =Aut (G) /Inn (G)稱為G的外自同構羣.外自同構羣的元素一般不是自同構。 ^[1] 

（1）若g在G的中心Z(G)內，則

是平凡的。因此阿貝爾羣的內自同構都是平凡的。一般而言，

的不動點集，正是g的中心化子C_G(g)。

（2）內自同構

的逆元是

。兩個內自同構

的複合是

。

（3）由羣的中心的基本性質可知，若Inn(G)是循環羣，則Inn(G)是平凡羣。

（4）若Inn(G)=Aut(G)且G無中心，則G稱為完備羣。

（5）若G是完滿羣且Inn(G)是單羣，則G稱為擬單羣。

（6）設R是半完備環，R的內自同構羣為G，若對任意0≠e=e~2∈R,1+e是R中的可逆元，則R在G作用下的不變元是R的中心。 ^[2] 

羣G的內自同構組成內自同構羣Inn(G)。內自同構羣Inn(G)與羣G對其中心Z(G)的商羣G/Z(G)同構。 ^[3] 

內自同構羣Inn(G)是G的自同構羣Aut(G)中的正規子羣，其對應商羣記為Out(G)=Aut(G)/Inn(G)，稱為外自同構羣。

上述關係可以用以下兩個短正合列表示：

羣G的子羣H是G的正規子羣，當H在G的任一內自同構的作用下不變。這時G的內自同構限制到H上是H的自同構（未必是H的內自同構），因而有羣同態

。這個羣同態的核是H在G中的中心化子C_G(H)。 ^[3] 

對一般的子羣H，可取其在G中的正規化子N_G(H)，則H是N_G(H)的正規子羣，故有羣同態

，其核是C_G(H)。因此N_G(H)/C_G(H)可以嵌入到Aut(H)內，即

是單射。