中心化子

羣G的一個元素a的中心化子（記作C_G(a)）是G的和a可交換的元素的集合；換句話説，C_G(a) = {x屬於G:xa=ax}。若H為G的子羣，則C_H(a) = C_G(a) ∩H。如果沒有歧義，則可以將C_G(a)記作C(a)。 ^[1] 

更一般地，令S為G的任意子集（不必是子羣）。則S在G中的中心化子定義為C(S) = {x屬於G：對於所有s屬於S,xs=sx}。若S= {a}，則C(S) = C(a)。

C(S)是G的子羣；因為若x、y屬於 C(S) ，則對每個s屬於S，xy^-1s=xsy^-1=sxy^-1。於是xy^-1屬於 C(S)。

羣G的中心是C_G(G)，通常記作Z(G)。一個羣的中心既是正規子羣也是交換羣，而且有很多其它重要屬性。我們可以將a的中心化子視作最大的（用包含關係為序）G的子羣H，滿足a屬於其中心Z(H)的條件。

一個相關的概念是，S在G中的正規化子，記作N_G(S)或者N(S)。正規化子定義為N(S) = {x屬於G:xS=Sx}。同樣的是，N(S)可以視作G的子羣。正規化子的名字來源於如果我們令<S>為一個由S生成的子羣，則N(S)是最大的滿足包含<S>為其正規子羣的G的子羣。<S>在其中為正規子羣的最小的G的子羣稱為共軛閉包。

G的子羣H稱為G的子正規化子羣，如果N_G(H) =H.

若G是交換羣，則任何G的子集的中心化子和正規化子就是G的全部；特別是，一個羣可交換，當且僅當Z(G) =G。 ^[2] 

若a和b是G的任意元素，則a在C(b)中，當且僅當b在C(a)中，這有當且僅當a和b可交換。 若S= {a}則N(S) = C(S) = C(a)。

C(S)總是N(S)的正規子羣：若c屬於C(S)而n屬於N(S)，我們要證明ncn^-1屬於C(S)。為此，取s屬於S並令t=nsn^-1。則t屬於S，所以ct=tc。注意到ns=tn；以及n^-1t=sn^-1。我們有

(n^-1cn)s= (n^-1c)tn= (n^-1(tc)n= (sn^-1)cn=s(n^-1cn).

這也就是要證明的命題。

若H是G的子羣，則N/C定理表明因子羣N(H)/C(H)同構於Aut(H)（H的自同構羣）的子羣。

因為N_G(G) =G，N/C定理也意味着G/Z(G)同構於Inn(G)（由所有G的內自同構組成的Aut(G)的子羣）。

如果我們通過T(x)(g) =T_x(g) =xgx定義羣同態T:G→ Inn(G)，則我們可以用Inn("G")在G上的羣作用來表述N(S)和C(S)：S在Inn(G)中的定點子羣就是T(N(S))，而Inn(G)中固定S的子羣就是T（C(S)）。