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羣作用

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數學上，對稱羣描述物體的所有對稱性。這是通過羣作用的概念來形式化的：羣的每個元素作為一個雙射（或者對稱作用）作用在某個集合上。在這個情況下，羣稱為置換羣（特別是在羣有限或者不是線性空間時）或者變換羣（特別是當這個集合是線性空間而羣作為線性變換作用在集合上時）。一個羣G的置換表示是羣作為一個集合的置換羣的羣表示（通常該集合有限），並且可以表述為置換矩陣，一般在有限的情形作此考慮－這和作用在有序的線性空間基上是一樣的。
中文名
羣作用
外文名
action of group
所屬學科
數學

目錄

  1. 1 定義
  2. ▪ 左作用
  3. ▪ 右作用
  1. 2 相關概念
  2. 3 羣作用軌道
  1. ▪ 1.作用軌道
  2. ▪ 2.穩定子羣

羣作用定義

羣作用左作用

若
為一個羣而
為一個集合，則
在
上的一個(左)羣作用是一個二元函數
(其中
和
的像寫作
)，滿足如下兩條公理：
1.
對於所有
和
成立；
2.
對於每個
成立 (
代表
的單位元)。 [2] 
從這兩條公理，可以得出對於每個
，映射
到
的函數是一個雙射，從
映射到
。因此，也可以將
在
上的羣作用定義為從
到對稱羣
的羣同態。
若羣作用
給定，我們稱“G作用於集合X”或者X是一個G-集合。

羣作用右作用

完全一樣地，可以定義一個G在X上的右羣作用為函數
，滿足以下公理：
注意左和右作用的區別僅在於像
這樣的積在
上作用的次序。對於左作用
先作用然後是
，而對於右作用
先作用然後是
。從一個右作用可以構造一個左作用，只要和羣上的逆操作複合就可以了。如果
為一右作用，則
是一左作用，因為
而
所以在這裏，我們只考慮左羣作用，因為右作用可以相應推理。

羣作用相關概念

設李羣G作用在流形M上，若對M上任意兩點x,y都存在G中元g使得g(x)=y，則稱G的羣作用是傳遞的。 [3] 

羣作用羣作用軌道

羣作用1.作用軌道

設
為目標集，羣
作用在
上，
，則集合
稱為
在
作用下的一個軌道，
為此軌道的代表元。
由軌道的定義可得如下性質 [1]  ，
性質1：若在
中定義二元關係
為：
存在
，使
，則
是
中的等價關係，且每一個等價類
就是一個軌道
。
性質2：
，即軌道中任意元素都有資格作為代表元。
性質3：
構成
的一個劃分，因而有
。

羣作用2.穩定子羣

設羣
作用在
上，
，
，若
，則稱
為
的一個不動點（fixpoint）。以
為不動點的所有羣元素的集構成的子羣
稱為
的穩定子羣（Stabilizer）。
關於穩定子羣與其軌道關係有如下輕質：
1）軌道公式：
2）同一軌道上的元素的穩定子羣是互相共軛的：
參考資料
  • 1.    [1]蔡光興.羣作用軌道及其應用[J].湖北工學院學報,2001,01
  • 2.    Theodor Brocker, Tammo tom Dieck．緊李羣的表示：Springer，1991
  • 3.    B. A. Dubrovin, A. T. Fomenko, S. P. Novikov．現代幾何學方法和應用 第2卷：Springer，1985