李羣

設G是一個拓撲羣，同時是一個微分流形。若G作為羣的羣乘法與逆映射都是光滑的，則G稱為李羣。 ^[5] 

連通阿貝爾李羣同構於線性空間與環面的積。 ^[6] 

李羣同態G→H能誘導出李代數同態LG→LH。 ^[5] 

李羣G的包含單位元的連通分支為G的開子羣與閉子羣。 ^[8] 

李羣G的李子羣為單同態f:H→G。G的子羣H為G的子流形，當且僅當H為G的閉子集。 ^[6] 

連通李子羣稱為解析子羣。 ^[8] 

給定李羣G的元g，可得G的內自同構

即

故誘導出

進而誘導出 ^[6] 

即

1.有限維線性空間對於加法羣是李羣。 ^[6] 

2.有限羣是0維緊李羣。

3.實一般線性羣

，復一般線性羣

，實特殊線性羣

，復特殊線性羣

4.實一般射影線性羣

，復一般射影線性羣

5.正交羣

，特殊正交羣

6.酉羣

，特殊酉羣

7.辛羣

，復辛羣

由挪威數學家S.李創立的一類連續變換羣。

1870年前後，S.李開始研究連續變換羣的概念，並用它們闡明微分方程的解，將微分方程進行分類。1874年，他建立了李羣的一般理論。一個李羣可以表示成如下形式：

1，2，…，n，其中f_i對x_i和a_i都是解析的，x_i是變量，而a_i是參數，(x₁，x₂，…，x_n)表示n維空間中的一點。變量或參數都取實數值或複數值。1883年，S.李藉助於一組微分方程定義連續變換羣。他的目的是用各種不同的方法把常微分方程的不同類型化成可由積分求解的形式，並建立起它們之間的一致性。S.李證明，如果一階常微分方程接受由某個無窮小變換所確定的變換羣，那麼這個微分方程的解就可由積分式表達。他還考察了許多種帶有已給變換的方程。這樣一來，S.李就依據無窮小變換把微分方程進行分類。

李羣理論在最初的相當長一段時間內僅與一些微分方程的積分有聯繫，而與數學的其他分支關係不大。在19世紀的最後10年以及20世紀，李羣理論在各種不同方向，主要是代數學和拓撲學方面得到了迅速的發展，成為數學的一個重要分支。李羣理論的第一個近代化的敍述是由原蘇聯數學家龐特里亞金於1938年給出的。20世紀50年代，李羣理論的發展進入了一個新的階段，主要標誌是代數羣論的創立。代數幾何方法的應用使李羣理論的經典結果得到新的闡述，從而揭示了它與函數論、數論等理論的深刻聯繫。緊接着，p進李羣的理論也得到重大發展。事實上，李羣理論與數學的幾個主要分支都有聯繫：通過李變換羣與幾何學、拓撲學的聯繫，通過線性表示論與分析的聯繫等。李羣在物理學和力學中也有着重要應用。 ^[2] 

一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣;時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

S.李是挪威數學家。生於努爾菲尤爾埃德，卒於克里斯蒂安尼亞(今奧斯陸)。1865年畢業於克里斯蒂安尼亞大學。1869年獲獎學金到柏林留學，與C.F.克萊因在一起工作並結為好友。第二年在巴黎又結識了達布和若爾當，受到法國學派的影響。1871年回國在克里斯蒂安大學執教，1872年獲博士學位。1886年到萊比錫大學接替C. F.克萊因的職務主持數學講座，12年後返回挪威。1892年當選為法國科學院院士。1895年成為英國皇家學會會員。他還是許多其他科學機構的成員。S.李的主要貢獻在以他的名字命名的李羣和李代數方面。1870年，他從求解微分方程入手，依靠微分幾何方法和射影幾何方法建立起一種變換，將空間直線簇和球面一一對應。不久他發現，這種對應是連續的，能將微分方程的解表示出來並加以分類。由此S.李引入了一般的連續變換羣概念，證明了一系列定理來發展他的理論。他把微分方程的自同構羣作為工具，對二維羣和三維羣進行分類。在以後的多年中，S.李和他的助手繼續豐富完善連續羣論學説，出版了3卷本的專著《變換羣論》(1888—1893)，後人為紀念他的貢獻，將連續羣改稱“李羣”。為研究李羣，他還創立了所謂“李代數”——一種由無窮小變換構成的代數結構，並研究了二者之間的對應關係。李代數現已成為現代代數學的重要分支。此外，S.李在代數不變量理論、微分幾何學、分析基礎和函數論等方面也有建樹。S.李的工作在20世紀初由法國數學家E.嘉當等加以發展。 ^[3] 

G,H均為李羣，二者之間的一個同態：f\,:G→H為 羣 並且是 解析映射 （事實上，可以證明這裏解析的條件堪需滿足連續即可）。顯然，兩個同態砄複合是同態。所有李羣的 類 加上同態構成一個 範疇。兩個李羣之間存在一個 雙射 ，這個雙射及其逆射均為同態，就稱為同構。

兩個數學系統(例如兩個代數系統)，當它們的元素及各自所定義的運算一一對應，並且運算結果也保持一一對應，則稱這兩個系統同構，記為≌。它們對於所定義的運算，具有相同的結構。例如，十進制數與二進制數是同構的。

建立同構關係的映射，稱為同構映射。例如，當映射為一一映射，並且對應元素關於運算保持對應時，就是同構映射。

同構是數學中最重要的概念之一。在很多情況，一個難題往往可以化成另一個同構的、似乎與它不相關的、已經解決的問題，從而使原問題方便地得到解決。雖然數學發展得越來越複雜，但利用同構概念，不僅使數學得到簡化，而且使數學變得越來越統一。表面上似乎不同，但本質上等價的結果，可以用統一的形式表達出來。例如，如果四色定理得到了證明，其他數學分支中與它同構的幾十個假設，也同時得到了證明。

E與F為兩個羣胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤. 稱從E到F中的映射f是羣胚同態，如果對於E的任一元素偶(x，y)，有：

設E與F為兩個幺半羣(兩個羣)，稱從E到F中的映射。f是幺半羣(羣)的同態，如果f是羣胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素。 (在羣的情況下，後一個條件是自然滿足的，但是從加法幺半羣N到乘法幺半羣N的映射x↦0是羣胚的同態， 而並不因此就是幺半羣的同態)。

設G為乘法羣，而a為G的元素. 由關係f(n)=an所定義的從加法羣Z到G中的映射f是羣的同態。

設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法羣的同態，且為乘法麼半羣的同態. 這就是説，對A的任一元素偶(x，y)，有：

f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，

並且f將A的單位元變成B的單位元。

例如，設n為非零自然數;使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態.設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數). 稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法羣胚(乘法幺半羣)的同態。

例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基. 則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態. ^[4]