子流形

設M是一個微分流形，N是M的子集， 如果N也是流形， 並且其微分結構和拓撲結構都是由M上的相應結構的限制而得。

確切的説， 如果包含映射i:N→M是嵌入映射（就是説，不但是拓撲的嵌入，還是保能夠區分切向量的微分映射。）

如果N是M的開集，就稱為開子流形。 ^[1] 

設N，M分別為n，m維的微分流形。F為N到M的C映射。若F的秩(rankF)在N的每點都等於n，則稱映射F為N到M的一個浸入。若浸入F是單射，則稱F為1-1浸入。

設F為N到M的1-1浸入，此映射下的像Ñ=F(N)⊂M，在Ñ上賦予拓撲和微分結構：設(U，ᵠ)為N的座標鄰域，令V=F(U)，φ=ᵠ°F，則(V，φ)為Ñ上的座標鄰域。使得F成為N到Ñ的微分同胚，則Ñ稱為M的n維浸入子流形。

設F為N到M的1-1浸入，若F同時是N到M內的同胚映射，亦即，在映射的像Ñ=F(N)取M中的子空間拓撲時，F是N到Ñ上的同胚映射。則稱Ñ為M的n維嵌入子流形。映射F稱為嵌入映射。

浸入和嵌入的區別是就整體而言，在局部二者是一致的。事實上，若F為N到M的浸入映射，則在任何點P∈N，總存在P的座標鄰域 (U，φ)，使得F限制在U上F|u是U到M內的嵌入。

設N是微分流形M的子集，具有以下性質：N的每點P，存在包含P的M中的座標鄰域(U，ᵠ)其局部座標為x，…，x，使得： (1)φ(p)=(0，…，0) ∈R。(2) (U)=C_ε(0)——以原點為中心的立方體鄰域。(3) ᵠ(U∩N) = {x∈C_ε(0)|x=…=x=0}。具有如上性質的子集N稱M的n維正則子流形，正則子流形本質上就是嵌入子流形。

流形是一類特殊的連通、豪斯多夫仿緊的拓撲空間，在此空間每一點的鄰近預先建立了座標系，使得任何兩個(局部)座標系間的座標變換都是連續的。n維流形的概念在18世紀法國數學家拉格朗日的力學研究中已有萌芽。19世紀中葉英國數學家凱萊(1843)、德國數學家格拉斯曼(1844，1861)、瑞士數學家施勒夫利(1852)分別論述了n維歐幾里得空間理論，把它視為n個實變量的連續統。1854年德國數學家黎曼在研究微分幾何時用歸納構造法給出一般n維流形的概念：n維流形是把無限多個(n-1)維流形按照一維流形方式放在一起而形成的，從此開始流形的拓撲結構及其局部理論的研究。法國數學家龐加萊在19世紀末把n維流形定義為一種連通的拓撲空間，其中每一點都具有和n維歐氏空間同胚的鄰域(被稱為龐加萊流形)，從而開闢了組合拓撲學的道路。

對流形的深入研究集中在流形上的微分結構與組合結構的存在性、唯一性問題，微分結構與組合結構的關係，流形的各種意義下的分類等問題，20世紀50—60年代做出許多重要結果，近幾十年來出現有限維帶邊流形和無限維流形概念。流形理論在與其他拓撲理論的相互結合發展中也提出許多問題，其研究仍在繼續。

設M是仿緊豪斯道夫 (Hau-sdorff)空間，且是拓撲流形，稱A= {(U_α，Ф_α)|α∈P}是它的地圖，如果{U_α|α∈P}是M的開覆蓋，Ф_α是從U_α到n維歐氏空間R的某開集上的同胚。(U_α，Φ_α)稱為座標卡。如果兩個座標卡 (U_α，Ф_α)，(Uβ，Φ_β) 滿足U_α∩U_β≠Φ，則稱Φ_β·Ф_α：Φ_α(U_α∩U_β) →Φ_β(U_α∩U_β) 和Φ_α·Φ_β： Φβ(U_α∩U_β) →Ф_α(U_α∩U_β) 為U_α∩U_β上的座標變換。如果A的所有座標變換都是C可微的，則稱A為一個C地圖，其中1≤r≤∞。r也可等於ω，此時A稱為解析地圖。拓撲流形M的座標卡 (U，Φ) 稱為與A是Cr相容的，如果任意(U_α，Φ_α) ∈A，座標變換Φ·Φ_αΦ_α·Φ均C可微。拓撲流形M的C地圖A稱為最大的，如果它包含M的所有與之C相容的座標卡。M上的最大C地圖A稱為M的C微分結構。(M，A)稱為C微分流形，或簡稱為C流形。當r=∞時，C微分結構也稱為光滑結構，C流形也稱為光滑流形。r=ω時，C結構也稱為解析結構，C流形稱為解析流形。C流形(M，A)有時也簡記為M。

從直觀上看，拓撲流形是局部歐氏空間，局部之間用同胚映射(座標變換)粘貼在一起。n維C流形，不僅局部同胚於n維歐氏空間，而且局部之間是用C光滑、且其逆也C光滑的座標變換粘貼在一起。

兩個C流形M和N，f：M→N是連續映射，且任一點P∈M，有包含P點的M中的座標卡(U，Φ)以及包含f(P)的N中的座標卡(V，φ)，使得f(U)⊂V，同時，映射φ°f°Φ_-1：Φ(U)→φ(V)是C光滑的(1≤r≤∞或r=ω)，則稱f是C映射。C映射也稱為光滑映射，C映射也稱為解析映射。其中稱為f的局部表示。 ^[2] 

C流形M和N之間的同胚f：M→N，如果f和f均是C映射，則稱f是C微分同胚。

亦稱恆等函數。一種重要的映射。對任何元素，象與原象相同的映射。對於映射f，若它的定義域A和值域B相等，並對所有的a∈A均有f(a)=a時，則稱f為恆等映射。常記為I_A或idA，e_A等。 ^[3] 

恆等映射有下列性質：

1.對映射f：A→B，I_B°f=f°I_A=f。

2.對映射f：A→B，若存在映射g：A→B，使得：g°f=I_A，f°g=I_B，則f是一一對應，且g=f^-1。

3.對任何集A，都存在惟一的恆等映射I_A。

4.恆等映射I_A是雙射，且I^-1_A=I_A。