微分流形

一個C^k類n維微分流形是有C^k類微分結構的n維拓撲流形。 ^[5-6] 

微分流形

的一個開集本身是一個微分流形，其微分結構為

。 ^[6] 

設(M₁,𝓕₁)與(M₂,𝓕₂)分別為d₁維與d₂維的微分流形，則積流形M₁×M₂為d₁+d₂維的微分流形，其微分結構為{(U_α×V_β,𝜙_α×ψ_β)|(U_α,𝜙_α)∈𝓕₁,(V_β,ψ_β)∈𝓕₂}。 ^[6] 

一般線性羣GL(n,

)以行列式為

上的連續函數，則GL(n,

)作為

的開集，是一個微分流形。 ^[6] 

參見條目：流形

具體説來,設M是一個豪斯多夫空間。U是M的開集,h是U到n維歐氏空間R的開集(常取為單位球內部或立方體內部等等)上的一個同胚映射,則(U，h)稱為一個座標圖，U稱為其中點的一個座標鄰域。設M為開集系{U_α}所覆蓋,則(U_α,h_α)的集合稱為M的一個座標圖冊。如果M的座標圖冊中任何兩個座標圖都是C相關的(座標圖冊應該是極大的，即若任一座標圖與座標圖冊中每一個座標圖都相容則其自身也屬於座標圖冊),則稱M有C微分結構,又稱M為n維的C微分流形。C相關是指流形M上同一點的不同座標之間的變換關係是C可微分的(k=0,1,…,∞或ω)，依通常記號C表示解析函數。具體來説, 如p∈U_α∩U_β,(x,）(x)(i=1,…,n)分別是p在兩個座標圖(U_α,h_α)，(U_β,h_β)下的(局部)座標,即那麼它們之間的關係式可表為而ƒ關於x（j=1,2，…，n）具有直到k次的連續導數。k=0時,M是拓撲流形；k>0時,就是微分流形；k=ω時，是解析流形。C^∞流形又常稱為光滑流形。如果微分流形M是一個仿緊或緊空間，則稱M為仿緊或緊微分流形。如果可選取座標圖冊使微分流形M中各個座標鄰域之間的座標變換的雅可比行列式都大於零，則稱這個流形是可定向的。球面是可定向的，麥比烏斯帶是不可定向的。

同一拓撲流形可以具有本質上不同的微分結構。米爾諾（John Milnor）首先發現作為一個拓撲流形，七維球面上可有不同於標準微分結構的怪異微分結構。後來弗裏德曼（Michael Freedman）等得出如下的重要結果:四維歐氏空間中也有多種微分結構，這與其他維數的歐氏空間只有惟一的微分結構有着重大區別。 ^[1] 

設φ是從C流形M到C流形N的連續映射,如果對於N上的任意Cr函數ƒ,M上的函數ƒ。φ總是Cr的,則稱φ是Cr可微映射，或簡稱Cr映射。如果φ是從M到N上的同胚，而且φ和φ都是C的，則稱φ為微分同胚，此時也稱M與N是微分同胚的微分流形。

設φ是從M到N的C映射。對M上點p的切向量x可以如下地定義N在點φ(p)處的切向量x┡：這個對應x→x┡用dφP表示,稱為φ在點p處的微分。微分dφP是從切空間TP(M)到(N)的線性映射,有時也稱為φ在切空間的誘導映射, 常用φ*P或φ*表示。利用對偶性，φ也自然地誘導了從餘切空間到T壩的線性映射，常記為(dφP)或φ壩或φ。由張量積運算，φ還可以誘導對應點之間某些張量空間之間的線性映射。

設M和N是兩個C流形，φ：M→N是C映射。如果微分dφP在M的每一點都是單射,則稱φ是浸入，而φ(M)稱為N的浸入子流形。如果浸入φ還是單射,則稱為嵌入，此時φ(M)稱為N的嵌入子流形。

微分流形上可以定義可微函數、切向量、切向量場、各種張量場等對象並建立其上的分析學，並可以賦予更復雜的幾何結構以研究它們的性質。

流形M上的實數值連續函數f:M →R是一個光滑函數，如果對每一個相容的座標卡ρ：U→M, f(ρ):U→R是一個U上的光滑函數。因為座標卡之間的座標變換是光滑映射，這是一個良好的定義。特別的，光滑函數可以看成一種0階張量場。

設p∈M,M在點p處的一個切向量是指從F（M）到R的一個線性映射x，使得對於任意的ƒ，g∈F(M)，滿足：對於在p點的切向量x1,x2和實數λ1,λ2,定義λ1x1+λ2x2如下： 那麼,點p處的切向量全體構成一個n維的實線性空間TP，TP稱為在p處M的切空間或切向量空間(也記為TP(M))。如果（x，x，…，x）為點p處的局部座標系，則由定義的n個獨立的切向量，構成TP的一組基，稱為自然標架（或座標標架）。M的切向量全體構成以M為底空間的向量叢（見纖維叢），稱為M的切向量叢，簡稱切叢。M的切叢的一個截面稱為M上的一個向量場。在局部座標系中，向量場可表成的形式，式中ξ(x)是座標(x)的C函數。TP的對偶空間稱為M在點p處的餘切空間，記為T壩。T壩中的元素稱為餘切向量,也稱協變向量。M的餘切向量全體構成M的餘切向量叢，簡稱餘切叢，它的截面稱為M上的一次微分形式。 “1=2”

由切空間和餘切空間通過張量積的運算可以得到M在點p處的各種(r,s)型張量,M的(r,s)型的張量全體構成張量叢，它的截面就是M上的一個(r,s)型張量場（見多重線性代數、張量）。

在微分流形上還可以定義外微分形式（見外微分形式）。p次外微分形式(2)是一些微分的外積的線性組合，這些微分的外積是反對稱的,即是p階反對稱協變張量,

M上p次外微分形式的全體構成一個實數域上的無限維向量空間E。對外微分形式可以進行加法運算（同次外微分形式可以相加）,外積運算（p次外微分形式與q次外微分形式的外積是一個(p+q)次外微分形式），還可以進行外微分運算及積分運算。在局部座標下，外微分運算為

(3)　設ω∈E且dω =0,則稱ω為閉形式。M上p次閉形式的全體構成E的一個子空間記為Z。設ω∈E,且ω=dσ(σ∈E，則稱ω為正合形式。正合形式一定是閉形式。M上p次正合形式的全體也構成E的一個子空間記為B，B嶅Z。商空間 　(4)稱為p次德·拉姆上同調羣（de Rham cohomology group）。

我們可以在微分流形上賦予不同的幾何結構（即一些特殊的張量場）。不同的幾何結構就是微分幾何不同的分支所研究的主要對象。 ^[2] 

主條目：黎曼幾何

仿緊微分流形均可賦予黎曼度量（見黎曼幾何），且不是惟一的。有了黎曼度量，微分流形就有了豐富的幾何內容，就可以測量長度，面積，體積等幾何量。

參見：複流形

微分流形M上的一個近復結構是M的切叢TM的一個自同構，滿足J·J=-1。如果近復結構是可積的，那麼我們就可以找到M上的全純座標卡，使得座標變換是全純函數。這時我們得到了一個複流形。

參見：辛幾何

微分流形上的一個辛結構是一個非退化的閉的二次微分形式。這樣的流形成為辛流形。 ^[3] 

在拓撲學中四維是一個非常特殊的維數。譬如斯梅爾的龐加萊猜想的證明只應用於大於四維的維數，他的h-配變定理不能應用於四維流形。而弗裏德曼的對四維龐加萊猜想的證明則更復雜。而且人們發現，存在四維拓撲流形，在其上不能賦予任何微分結構。而四維歐式空間是唯一一個存在怪異微分結構的歐式空間。

對四維微分流形的研究中具有里程碑意義的是英國數學家西蒙·唐納森的工作。他的想法來源於理論物理中的規範場理論。他由此定義了被稱為唐納森不變量的四維微分流形的不變量。後來物理學家賽博格和愛德華·威騰將唐納森不變量簡化為一種更易於計算的不變量，後來被稱作賽博格-威騰不變量（Seiberg-Witten invariants）。這些不變量都大大推進了人們對四維微分流形的理解。

而對於四維拓撲流形，許多問題還沒有解決。其中最重要的是四維流形的光滑龐加萊猜測：（作為一個拓撲流形）四維球面上只存在標準的微分結構。 ^[4]