切向量

設m為微分流形M中一點，則m點的切向量為m點的光滑函數芽F_m的導子。 ^[3] 

光滑曲線c:I→M在t點的切向量定義為

，則對φ∈𝓕M， ^[5] 

由導子定義有，對於p∈M，則p點的切向量v:𝓕_p(M)→ℝ滿足

(1)線性：v(αf+βg)=αv(f)+βv(g)；

(2)導子：v(fg)=f(p)v(g)+g(p)v(f)，

其中α,β∈ℝ，f,g∈𝓕_p(M)。 ^[5] 

M在m點的切向量的集稱為M在m點的切空間。切空間為實線性空間。 ^[3] 

設F:N→M為光滑映射，對p∈N，則映射F誘導出切空間的映射F_*:T_pN→T_F(p)M，稱為映射於p的微分，定義為

F_*(X_p)(f)=X_p(f○F)∈ℝ，則f∈C^∞_F(p)(M)，其中f為F(p)的函數芽，由F(p)的鄰域的C^∞函數表示。 ^[4] 

在定義切向量之前，首先給出光滑函數的定義。敍述中都將按國際非線性學術界表達慣例，向量將一律用白斜體字母表示 ^[2]  。

定義1 設A是

的一個開子集（即A內每點都可找到一個完全屬於A的鄰域），

是一個函數。f點z

的值記為

。如果f對

的任意階偏導數存在且連續，則稱函數f是

類函數(function of class

)，簡稱f是一個

函數或稱f是一個光滑函數(smooth function)。如果函數f是

的，且對任意指定點

，存在

的一個鄰域U，使對所有

，f在

的Taylor級數展開式都收斂到

，則稱f是一個

函數或稱f 是一個解析函數( analytic function)。

定義2 一流形N上有定義的所有光滑函數的集合，記為

。在流形N上一點p的鄰域有定義的所有光滑函數的集合，記為

。 ^[2] 

下面對以上定義作一些概念性説明 ^[2]  。

(1)流形(manifold)是拓撲學和微分幾何中的重要概念。不過，為不涉及過多的數學基礎，此處不準備作嚴格的定義。從概念上説，一個n維流形可理解為由多個同為n維的曲面（或超曲面）經拼接所得到的曲面（或超曲面）。

(2)流形的一個特徵是，它的一個局域可以與一個n維歐氏空間之間建立起點與點間的一對一映射關係，它的每個局域可以分別與各自的一個n維歐氏空間之間建立起點與點間的一對一映射關係，並可在此基礎上建立起通用於各局域的流形局部座標系，從而變成可度量的( metrizable)。

(3)具有微分結構的流形被稱為微分流形(differential manifold)。這裏所説的微分結構，是指參與拼接的曲面（或超曲面）彼此拼接得是如此之好，以至於流形作為一整體與n維歐氏空間之間的映射能達到任意次可微的程度，即達到光滑的程度。因此微分流形也稱為光滑流形(smooth manifold)或簡稱流形。微分流形可理解為是由多個同為n維的光滑曲面（或超曲面）經拼接所得到的光滑曲面（或超曲面），也就是有任意階導數的n維曲面（或超曲面）。

(4)定義在流形N上的光滑函數

就是定義在流形N的局部座標系上的函數。對於一個光滑流形而言，其各階導數都存在。

(5)光滑函數

在某方向上的變化率，一般稱為方向導數(directional derivative)。方向導數取值是一實數。算子v表示求方向導數的操作，故其映射關係可表示為

。

(6)求導的方向在函數

的定義域上表示，即指的是流形局部座標平面（或超平面）上定的方向，而不是指在

曲面的切平面（或超切平面）上定的方向。

切向量和方向導數有密切關係，但這是兩個不同的概念。切向量被定義為一個抽象的泛函（算子），指的是

至歐氏空間

的一個映射，而方向導數則指的是該映射的像值 ^[2]  。

（流形

上的切向量，切向量和方向導數的差異）設

是定義在

上的

（光滑）函數

在點x的方向導數（即

在定義域一定方向上的坡度或變化率）定義為 ^[2] 

式中，

是表示方向的係數。方向可以是給定的方向，也可以是某個體現函數

自身性質的方向。

比如，

在點x的梯度(gradient)被定義為向量

在點x的方向導數在此方向有最大坡度值

，梯度方向是

上升最陡的方向，所體現的就是函數

自身的性質。

如果把式

改寫成

注：其中

中的三部分分別為切向量的基底、方向向量、光滑函數，這三部分組成一個切向量；

為方向導數。

可見方向導數可拆成三部分。方向導數的前面兩部分，即切向量的基底和方向向量合稱為切向量。此切向量完全符合切向量定義。

方向的表示方法一般有兩種。一種是用方向餘弦向量

表示，另一種是用方向數向量

表示。切向量的方向一般都用後一種表示。方向數向量歸一化後等於方向餘弦向量。也可以説方向數向量等於方向餘弦向量外乘一個常數。該常數表示向量的長度或大小。所以通常所説的方向向量不僅指方向，還可能包括其長度。切向量的方向和大小都是點的函數。在不同點上，不僅方向可能不同，而且外乘的常數（向量的長度）也可能會隨之不同。儘管方向數向量有外乘常數，不僅表示方向，但為方便，以後仍將把它們和方向餘弦向量一樣看待，一律籠統地稱為方向向量。 ^[2]