切線

P和Q是曲線C上鄰近的兩點，P是定點，當Q點沿着曲線C無限地接近P點時，割線PQ的極限位置PT叫做曲線C在點P的切線，P點叫做切點；經過切點P並且垂直於切線PT的直線PN叫做曲線C在點P的法線（無限逼近的思想）。

説明：平面幾何中，將和圓只有一個公共交點的直線叫做圓的切線．這種定義不適用於一般的曲線；PT是曲線C在點P的切線，但它和曲線C還有另外一個交點；相反，直線l儘管和曲線C只有一個交點，但它卻不是曲線C的切線。 ^[1] 

在高等數學中，對於一個函數，如果函數某處有導數,那麼此處的導數就是過此處的切線的斜率，該點和斜率所構成的直線就為該函數的一個切線。

設V為由根理想

的生成元F₁,...,F_r定義的仿射簇，

為過原點與(a₁,...,a_n)的直線，則

∩V在原點的重數為所有多項式f_i(t)=F_i(ta₁,...,ta_n)中t的最低次冪的指數。

若

∩V在p點的重數大於1，則稱

為V上p點的切線。 ^[5] 

圓的切線垂直於過其切點的半徑；經過半徑的非圓心一端，並且垂直於這條半徑的直線，就是這個圓的一條切線。 ^[2] 

一直線若與一圓有交點，且連接交點與圓心的直線與該直線垂直，那麼這條直線就是圓的切線。

一般可用：

1、作垂直證半徑

2、作半徑證垂直

圓的切線垂直於經過切點的半徑。 ^[2] 

推論1：經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點。

推論2：經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心。

（1）切線和圓只有一個公共點；

（2）切線和圓心的距離等於圓的半徑；

（3）切線垂直於經過切點的半徑；

（4）經過圓心垂直於切線的直線必過切點；

（5）經過切點垂直於切線的直線必過圓心；

（6）從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

其中（1）是由切線的定義得到的，（2）是由直線和圓的位置關係定理得到的，（6）是由相似三角形推得的，也就是切割線定理。

切線的判定定理： 經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線 。圓的切線垂直於這個圓過切點的半徑。

幾何語言：∵l⊥OA，點A在⊙O上

∴直線l是⊙O的切線（切線判定定理）

切線的性質定理： 圓的切線垂直於經過切點半徑。

幾何語言：∵OA是⊙O的半徑，直線l切⊙O於點A

∴l ⊥OA（切線性質定理）

推論1 經過圓心且垂直於切線的直徑必經過切點，

推論2 經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心。

定理： 從圓外一點可引出圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。 ^[3] 

幾何語言：∵弦PB、PD切⊙O於A、C兩點

∴PA=PC，∠APO=∠CPO（切線長定理）

弦切角定理： 弦切角等於它所夾的弧對的圓周角。

幾何語言：∵∠BCN所夾的是 ，∠A所對的是

∴∠BCN=∠A

推論： 如果兩個弦切角所夾的弧相等，那麼這兩個弦切角也相等。

弦切角概念：頂點在圓上，一邊和圓相交、另一邊和圓相切的角叫做弦切角．它是繼圓心角、圓周角之後第三種與圓有關的角．這種角必須滿足三個條件：

（1）頂點在圓上，即角的頂點是圓的一條切線的切點；

（2）角的一邊和圓相交，即角的一邊是過切點的一條弦所在的射線；

（3）角的另一邊和圓相切，即角的另一邊是切線上以切點為端點的一條射線，它們是判斷一個角是否為弦切角的標準，三者缺一不可；

（4）弦切角可以認為是圓周角的一個特例，即圓周角的一邊繞頂點旋轉到與圓相切時所成的角，正因為如此，弦切角具有與圓周角類似的性質。

弦切角定理：弦切角等於它所夾的弧對的圓周角，它是圓中證明角相等的重要定理之一。 ^[4] 

切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。