函數芽

函數芽為函數的等價類，即兩個函數等價，若其在點的某鄰域上處處相等。 ^[2] 

設p為流形M上一點，在C^∞_p中定義關係~：設(f,U),(g,V)∈C^∞_p，則(f,U)~(g,V)當且僅當存在點p的一個開鄰域H⊆U∩V，使得f|_H=g|_H，則~ 是C^∞_p中的等價關係，記f在C^∞_p中的“~”等價類為[f]，稱為M在點p的函數芽。 ^[1] 

給定A⊆M，𝓕(A)為所有光滑函數f:A→ℝ構成的集合。則𝓕(A)為實代數。設U為M的開子集，p∈U，𝓕⁰_p(U)={f∈𝓕(U)|f≡0，在p的一個鄰域}。則𝓕⁰_p(U)為𝓕(U)的一個理想。商代數𝓕(U)/𝓕⁰_p(U)稱為p點的函數芽代數。 ^[2] 

𝓕(M)→𝓕(U)，f↦f∘ι，其中ι:U→M為包含映射，誘導出同構𝓕_p(M)≅𝓕_p(U)，故可用𝓕_p來表示函數芽。 ^[2]