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關係
（數學中關係）
鎖定
關係常指二元關係，數學的基本概念之一，關係是在集合的基礎上定義的一個重要的概念，與集合的概念一樣，關係的概念在計算機科學中也是最基本的。它主要反映元素之間的聯繫和性質，在計算機科學中有重要的意義，如有限自動機和形式語言、編譯程序設計、信息檢索、數據結構以及算法分析和程序設計的描述中經常出現。
[1]
- 中文名
- 關係
- 外文名
- binaryrelation、relation
- 所屬學科
- 數學
- 別 名
- 二元關係
- 用 途
- 反映元素之間的聯繫和性質
- 定 義
- 在集合的基礎上定義的一個重要的概念
關係基本概念
關係定義
給定任意集合A和B，若
，則稱R為從A到B的二元關係，特別在A=B時，稱R為A上的二元關係．可見，R是有序對的集合．若
，則也表示為
，即
關係定義域、值域和域
令
，且
顯然
。
關係關係矩陣與關係圖
定義 給集合
和
，且
．若
則稱矩陣
為R的關係矩陣。
集合A上的二元關係R也可用有向圖表示．具體方法是：用小圓圈表示A中的元素，小圓圈稱為圖的結點，把對應於元素
和
的結點分別標記
和
若
，則用弧線段或直線段把
和
連接起來，並在弧線或直線上設置一箭頭，使之由
指向
；若
，則在結點
上畫一條帶箭頭的自封閉曲線或有向環，稱這樣的弧線或封閉曲線為弧或有向環，這樣得到的有向圖
叫做關係R的圖示，簡稱關係圖，記為
。
[2]
關係關係的性質
在全集U中所有子集的集合中，包含關係
是自反的，相等關係=也是自反的；但是，真包含關係
不是自反的，整數集合Z中，關係≤是自反的，而關係<不是自反的。
反自反 令
，若對於A中每個x，有
，則稱R是反自反的，即A上關係R是反自反的。
應該指出，任何一個不是自反的關係，未必是反自反的；反之，任何一個不是反自反的關係，未必是自反的，這就是説，存在既不是自反的也不是反自反的二元關係。
該定義表明了，在表示對稱的關係R的有序對集合中，若有有序對
，則必定還會有有序對
。
在全集U的所有子集的集合中，相等關係是對稱的，包含關係
和真包含關係
都不是對稱的；在整數集合Z中，相等關係=是對稱的，而關係≤和<都不是對稱的。
在全集U的所有子集的集合中，相等關係=，包含關係
和真包含關係
都是反對稱的，但全域關係不是反對稱的．在整數集合Z中，=，≤和<也都是反對稱的。
可見，有些關係既是對稱的，又是反對稱的，如相等關係；有些關係是對稱的，但不是反對稱的，如Z中的“絕對值相等”；有些關係是反對稱的，但不是對稱的，如Z中的≤和<；還有的關係既不是對稱的，又不是反對稱的，例如，A={a，c，b}中
．
傳遞 令
，對於A中每個x，y，z，若xRy且yRz，則xRz，稱R是傳遞的，即A上關係R是傳遞的
該定義表明了，在表示可傳遞關係R的有序對集合中，若有有序對
和
，則必有有序對
。
顯然，上述提到的關係中
，
，=和≤，<，=都是傳遞的，在直線的集合中，平行關係是傳遞的，但垂直關係不是傳遞的。
通過上面幾個實例，看出：
①若A上關係R是自反的，則
中主對角線上元素全為1，而
中每個結點有有向環；反之亦然；
③若A上關係R是對稱的，則
是對稱矩陣，而
中任何兩結點若有弧，弧必成對出現；反之亦然；
④若A上關係R是反對稱的，則
中主對角線元素不能同時為1，而
中若兩結點間有弧，弧不能成對出現；反之亦然；
⑤若A上關係R是傳遞的，則
中若
，則
，而
中若有弧
和
，則必有弧
；反之亦然。
此外，還有：
①任何集合上的相等關係=是自反的，對稱的、反對稱的和傳遞的，但不是反自反的。
②整數集合Z中，關係≤是自反的、反對稱的和傳遞的，但不是反自反的和對稱的，關係<是反自反的、反對稱的和傳遞的，但不是自反的和對稱的。
③非空集合上的空關係是反自反的、對稱的、反對稱的和傳遞的，但不是自反的，空集合上的空關係則是自反的、反自反的、對稱的、反對稱的和傳遞的。
