切平面

曲面Σ上過點M的所有曲線在點M處的切線都位於曲面Σ在切點M處的切平面。

設正則參數曲S的方程為

，

是曲面S上點的曲紋座標，因此曲面S上的任意曲線L可以用參數方程

給出，將其視為

中的曲線，則其方程為

。

顯然，根據定義，

都是曲面S的切向量，假定P是曲線上對應t=0的點，因此曲面S在點P的切向量是

這表明曲面S在P點的切向量為

，是

，

的線性組合，其分量恰好是

，

。反過來，

的任意一個線性組合必定是曲面的切向量。

實際上，對於任意實數

，只要命曲線L為

，

，其中，

，則曲線L在點P的切向量是

.

由於

,故

是線性無關向量，因此曲面在點P的切向量構成一個二維向量空間，這個空間稱為曲面S在點P的切空間，記做

，顯然，

構成了空間

的一個基底。在空間

中經過點P、並且由空間S在點P張成的平面就是曲面S在點P的切平面，顯然，曲面在點P的切平面是與曲面的參數表示無關的概念。

曲面

在點

的切平面的參數方程是

. ^[1] 

平面的切平面為此平面自身。

錐面的所有切平面都經過一個定點