方向導數

設函數z=f(x,y) 在點P(x,y)的某一鄰域U(P)內有定義，自點P引射線

，自x軸的正向到射線

的轉角為

，

為

上的另一點，若

存在，則稱此極限值為

在點P沿方向

的方向導數，記作

．其計算公式為

三元函數u=f(x,y,z)在點P(x,y,z)沿着方向

(方向角為

)的方向導數的定義為

其中

且

為

上的點，其計算公式為

. ^[1] 

設

為數量場u=u(M) 中的一點，從點

出發引一

條射線

(其方向用

表示)，在

上點

的鄰近取一動點

，記

，如圖《沿直線的方向導數》所示，若當

時，分式

的極限存在，則稱它為函數

在點

處沿

方向的方向導數，記作

，即

方向導數

是在點M 處函數u(M) 沿方向

的對距離的變化率．故(1)當

時，函數u 沿

方向就是增加的；(2)當

時，函數u 沿

方向就是減少的．

在直角座標系中，方向導數由下面定理給出計算公式。

1.若函數

在點

處可微，

為

方向的方向餘弦，則函數u

在點

處沿

方向的方向導數必存在，且滿足

證，設動點

的座標為

2.若在有向曲線C上取一定點

作為計算弧長s的起點，若以C的正向作為s增大的方向；M為C上的一點，在點M處沿C的正向作一與C相切的射線

(其方向用

表示)，則當函數u可微、曲線C光滑時，u在點M處沿

方向的方向導數就等於u對s的全導數，即

證，曲線C是光滑的，其參數方程為x=x(s),y=y(s),z=z(s)，函數u=u[x(s),y(s),z(s)],

^[2] 

如圖《沿曲線方向的方向導數》所示，設

為數量場u=u(M)中曲線C上的一點，在點

的鄰近取一動點M，記

，若當

時，分式

的極限存在，則稱它為函數u(M)在點

處沿曲線(正向)方向的方向導數，記作

當曲線C光滑時，在點M處函數u可微，函數u沿C方向的方向導數就等於u對s的全導數，則有

證 因為當曲線C光滑時，在點M處函數u可微，故全導數

存在．

，當

存在時，有

。

推論 若曲線C 光滑時，在點M處函數u可微，函數u在點M處沿C方向的方向導數就等於函數u在點M處沿C的切線方向

(C正向一側)的方向導數，即

^[2]