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二元函数

播报讨论上传视频
数学中描述两个自变量与一个因变量之间映射关系的核心概念
二元函数（function of two variables）与一元函数的情形相仿，记号f与f（x，y）的意义是有区别的，但习惯上常用记号“f（x，y），（x，y）∈D”或“z=f（x，y），（x，y）∈D”来表示D上的二元函数f.表示二元函数的记号f也是可以任意选取的.例如也可以记为z=φ（x，y），z=z（x，y）等. [1]
中文名
二元函数
外文名
function of two variables
表达式
z=f（x，y），（x，y）∈D
自变量
x和y
定义域
D
值    域
f（D）={z|z=f（x，y），（x，y）∈D}
图    象
空间直角坐标系Oxyz中的曲面

目录

  1. 1定义
  2. 2基本概念
  3. 3极限
  1. 4连续性
  2. 5可微性
  3. ▪偏微商
  1. ▪全微分
  2. ▪几何意义

定义

播报
编辑
设
是二维空间
的一个非空子集，称映射
为定义在
上的二元函数踏故泪凳体纹，通常记为
院脚档或
删鸦甩棵巩，霸仔棵其中点集
称为该二元函数的定义域，
称故海为自变量，
辩请胶精称为因变量.
上述定义中，与自变量
的一对值（即二元有序实数组
）相对应的因变量的值
也称为
在点
处的函数值，记作
，即
.函数值
的全体所构成的集合称为函数
的值域，记作
，即
. [1]

基本概念

播报
编辑
内点、外点、边界点
给定平面上一个点集
，对于
来说，平面上任一个点必为下列三种点之一：
（1）
之内点
若对于点
，存在某个
，使Uδ（M0）⊂E，即存在以
为心之充分小的开圆整个属于
，则称
为
之内点.
（2）
之外点
若对于点
，存在某个
，使Uδ（M0）∩E=Ø，即存在以
为心之充分小的开圆与
不交，则称
为
之外点.
（3）
之边界点
若对于点
，任意的都使Uδ（M0）中既有
之点，又有非
之点，即对任意
且
，则称
为
之边界点. [2]
聚点
设点
，点集
，如果对于任意给定的
，点P的去心邻域
内总有
中的点，则称
是
的聚点. [3]
开集、闭集、边界
若点集
中之点，都是
之内点，则称
为开集；若点集
包含
之一切边界点，则称
为闭集.
之一切边界点组成的集合，称为
之边界，记作
. [2]
连通集
若集合E中任意两点可以由一条完全在
中的折线连接起来，则称
为连通集. [2]
开区域、闭区域
连通的开集称为区域或开区域.
开区域连通它的边界一起所构成的点集称为闭区域. [4]
有界集、无界集
对于平面点集
，如果存在某一正数
，使得
，其中
是坐标原点，则称
为有界集，否则
为无界集. [4]

极限

播报
编辑
设二元函数
的定义域为
，
是
的聚点.如果存在常数
，对于任意给定的正数
，总存在正数
，使得当
时，都有
成立，那么就称常数
为函数
当
时的极限，记作
或
，也记作
或
.
为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限. [5]
必须注意，所谓二重极限存在，是指
以任何方式趋于
时，
都无限接近于A.因此，如果
以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于
时，即使
无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在.但是反过来，如果当
以不同方式趋于
时，
趋于不同的值，那么就可以断定此函数的极限不存在.
关于二元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法则. [6]

连续性

播报
编辑
如果函数
在点
处极限存在且为
，即有
，则称函数
在
处连续.
如果函数
在区域
内的每一点处都连续，则称函数
在
内连续. [7]
一切二元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. [8]
在有界闭区域
上的二元连续函数，必定在
上有界，且能取得它的最大值和最小值.
在有界闭区域
上的二元连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.
在有界闭区域
上的二元连续函数必定在
上一致连续. [9]
设
为
的定义区域，若对于任意给定的正数
，总存在正数
，使得对于
上的任意两点
，只要当
时，都有
，则称
在
上一致连续. [9]

可微性

播报
编辑

偏微商

令二元函数
的自变量
保持定值
，这时
就成为自变量
的一元函数.如果这个一元函数
在
处的微商存在，则称此微商为函数
在点
处对
的偏微商（或偏导数），记作
或
，
，
. [10]
例如，函数
在
处对
的偏微商
就是一元函数
在
处的微商，即
.
如果函数在区域
内每一点
处都有偏微商
，
，则称这两个偏微商也是
内
和
的二元函数. [11]
二元函数
的两个偏微商
，
仍然是关于
和
的二元函数.如果将这两个偏微商再对
或
求偏微商，则得出函数
的二阶偏微商，显然二元函数的二阶偏微商共有四个，它们是
，
，
，
.
也常用下列记号表示它们：
，
，
，
.
上面的第二个与第三个二阶偏微商中包含着对不同自变量的偏微商，这叫混合偏微商. [12]
对二阶偏微商再对
或
求多次偏微商，可得三阶偏微商、四阶偏微商……当
且
时，
阶偏微商称高阶偏微商（高阶偏导数）.

全微分

设二元函数
在点
的某邻域内有定义，若自变量
与
各有增量
与
，则称
为函数
在点
的全增量.
如果存在常数A与B，使得函数在点
的全增量
可以表示为
，其中
，则称
为函数
在点
的全微分，记作
或
，这时称函数
在点
处可微.
若函数在区域
内任一点处都可微，则称函数在
内是可微的.
若函数
在点
处可微，则函数
在点
处的两个偏微商都存在，并且
，其中
是全微分定义中的常数.
若函数
的两个偏微商在点
处连续，则函数f（x，y）在点
处可微. [13]

几何意义

设
为曲面
上的一点，过
作平面
，与此曲面相交得到一曲线，该曲线在平面
上的方程为
，可得：导数
，即偏导数
，的几何意义就是曲线
在点
处的切线（记作：
）对
轴的斜率. [14]
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