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鄰域

鎖定
鄰域,是指集合上的一種基礎的拓撲結構有鄰域公理(鄰域公理是現代數學拓撲結構的基礎概念)、開鄰域和閉鄰域、去心鄰域等的研究著作。
中文名
鄰域
外文名
neighbourhood
所屬學科
一般拓撲學
相關應用
鄰域公理
相關概念
去心鄰域、開鄰域、閉鄰域

鄰域定義

設X為拓撲空間,X中一點x的鄰域為X的一個子集N,使得存在一個X的開集U,滿足
[2] 

鄰域初等定義

鄰域是一個特殊的區間,以點a為中心點任何開區間稱為點a的鄰域,記作U(a)。
點a的δ鄰域:設δ是一個正數,則開區間(a-δ,a+δ)稱為點a的δ鄰域,記作
,點a稱為這個鄰域的中心,δ稱為這個鄰域的半徑。
由於
相當於
,因此,
表示與點a的距離小於δ的一切點x的全體。
鄰域 鄰域
點a的去心δ鄰域:有時用到的鄰域需要把鄰域中心去掉,點aδ鄰域去掉中心a後,稱為點a去心δ鄰域,記作
(表達方法是在U上標一個小的0),即
,這裏
表示
。有時把開區間(a - δ, a)稱為a的左δ鄰域,把開區間(a, a + δ)稱為a的δ鄰域 [1] 

鄰域鄰域公理

鄰域內容

給定集合X,映射U:X→P(P(X))(其中P(P(X))是X的冪集的冪集),U將X中的點x映射到X的子集族U(x)),稱U(x)是X的鄰域系以及U(x)中的元素(即X的子集)為點x的鄰域,當且僅當U滿足以下的鄰域公理
  • U1:若集合A∈U(x),則x∈A。
  • U2:若集合A,B∈U(x),則A∩B∈U(x)。
  • U3:若集合A∈U(x),且A⊆B⊆ X,則B∈U(x)。
  • U4:若集合A∈U(x),則存在集合B∈U(x),使B⊆A,且∀y∈B,B∈U(y)。

鄰域含義

鄰域公理是現代數學拓撲結構的基礎概念,是定義拓撲的五套等價公理之一。這套公理直接定義了空間上的整套鄰域系,而非簡單定義某個點的鄰域。映射U即是將x映射至x鄰域組成的集合。
  • U1:若A是x的鄰域,則x屬於A。這是顯然的。
  • U2:若A和B都是x的鄰域,則A和B的交集也是x的鄰域。即鄰域對於有限交運算封閉。
  • U3:若A是x的鄰域,則所有包含A的集合都是x的鄰域。
  • U4:若A是x的鄰域,則存在一個被A包含的集合B(可以相等),使得B是其中所有點的鄰域。換言之,若x有一個鄰域,那麼一定可以將其縮小,縮小到它是其中所有點的鄰域。更關鍵的,這樣的鄰域當且僅當它是X中的開集,這也是鄰域公理為何等價於開集公理,從而可以通過它定義X上拓撲的原因。

鄰域開鄰域和閉鄰域

若x的鄰域同時是X中的開集,稱其為x的開鄰域;若它同時是X中的閉集則稱其為x的閉鄰域

鄰域結論

  1. 拓撲空間X,X的子集A是開集,當且僅當A是其中所有點的鄰域。(顯然由此可知,從鄰域公理出發可以等價地定義拓撲空間)。
  2. 拓撲空間X,X的子集A和A°,A°是A的開核,當且僅當A° = {x | ∃U∈U(x),U⊆A}。
  3. 拓撲空間X,X的子集A和A’,A’是A的閉包,當且僅當A’ = {x | ∀U∈U(x),U∩A ≠ ∅}
參考資料
  • 1.    同濟大學應用數學系.高等數學上:高等教育出版社,2007
  • 2.    吉田耕作.泛函分析 第6版:Springer,1995