偏導數

設U⊂ℝⁿ，給定函數f:U→ℝ，p∈U，f在p點的第i偏導數定義為

D_if(p)=lim_t→0(f(p+te_i)-f(p))/t=(f∘c)'(0)，其中c為過點p的方向為e_i的線c(t)=p+te_i。 ^[2] 

設有二元函數 z=f(x,y) ，點(x₀,y₀)是其定義域D 內一點。把 y 固定在 y₀而讓 x 在 x₀ 有增量 △x ，相應地函數 z=f(x,y) 有增量（稱為對 x 的偏增量）△z=f(x₀+△x,y₀)-f(x₀,y₀)。

如果△z 與 △x 之比當 △x→0 時的極限存在，那麼此極限值稱為函數 z=f(x,y) 在 (x₀,y₀)處對 x 的偏導數，記作 f'_x(x₀,y₀)或函數 z=f(x,y) 在(x₀,y₀)處對 x 的偏導數，實際上就是把 y 固定在 y₀看成常數後，一元函數z=f(x,y₀)在 x₀處的導數。

同樣，把 x 固定在 x₀，讓 y 有增量 △y ，如果極限存在那麼此極限稱為函數 z=(x,y) 在 (x₀,y₀)處對 y 的偏導數。記作f'_y(x₀,y₀)。

在一元函數中，導數就是函數的變化率。對於二元函數的“變化率”，由於自變量多了一個，情況就要複雜的多。

在 xOy 平面內，當動點由 P(x₀,y₀) 沿不同方向變化時，函數 f(x,y) 的變化快慢一般來説是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x₀,y₀) 點處沿不同方向的變化率。

在這裏我們只學習函數 f(x,y) 沿着平行於 x 軸和平行於 y 軸兩個特殊方位變動時， f(x,y) 的變化率。

偏導數的表示符號為:∂。

偏導數反映的是函數沿座標軸方向的變化率。 ^[3] 

高階偏導數：如果二元函數 z=f(x,y) 的偏導數 f’x(x,y) 與 f’y(x,y) 仍然可導，那麼這兩個偏導函數的偏導數稱為 z=f(x,y) 的二階偏導數。二元函數的二階偏導數有四個：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。 ^[4] 

當函數 z=f(x,y) 在 (x₀,y₀)的兩個偏導數 f'_x(x₀,y₀) 與 f'_y(x₀,y₀)都存在時，我們稱 f(x,y) 在 (x₀,y₀)處可導。如果函數 f(x,y) 在域 D 的每一點均可導，那麼稱函數 f(x,y) 在域 D 可導。

此時，對應於域 D 的每一點 (x,y) ，必有一個對 x (對 y )的偏導數，因而在域 D 確定了一個新的二元函數，稱為 f(x,y) 對 x (對 y )的偏導函數。簡稱偏導數。

按偏導數的定義，將多元函數關於一個自變量求偏導數時，就將其餘的自變量看成常數，此時他的求導方法與一元函數導數的求法是一樣的。

偏導數 f'_x(x₀,y₀) 表示固定面上一點對 x 軸的切線斜率；偏導數 f'_y(x₀,y₀) 表示固定面上一點對 y 軸的切線斜率。

高階偏導數：如果二元函數 z=f(x,y) 的偏導數 f'_x(x,y) 與 f'_y(x,y) 仍然可導，那麼這兩個偏導函數的偏導數稱為 z=f(x,y) 的二階偏導數。二元函數的二階偏導數有四個：f"_xx，f"_xy，f"_yx，f"_yy。

注意：

f"_xy與f"_yx的區別在於：前者是先對 x 求偏導，然後將所得的偏導函數再對 y 求偏導；後者是先對 y 求偏導再對 x 求偏導。當 f"xy 與 f"yx 都連續時，求導的結果與先後次序無關。 ^[1]