二元函數

設D是二維空間R²={（x，y）|x，y∈R}的一個非空子集，稱映射f：D→R為定義在D上的二元函數，通常記為

z=f（x，y），（x，y）∈D

或

z=f（P），P∈D，

其中點集D稱為該函數的定義域，x、y稱為自變量，z稱為因變量.

上述定義中，與自變量x、y的一對值（即二元有序實數組）（x，y）相對應的因變量z的值，也稱為f在點（x，y）處的函數值，記作f（x，y），即z=f（x，y）.函數值f（x，y）的全體所構成的集合稱為函數f的值域，記作f（D），即

f（D）={z|z=f（x，y），（x，y）∈D}. ^[1] 

給定平面上一個點集E，對於E來説，平面上任一個點必為下列三種點之一：

（1）E之內點

若對於點M₀，存在某個δ＞0，使U_δ（M₀）⊂E，即存在以M₀為心之充分小的開圓整個屬於E，則稱M₀為E之內點.

（2）E之外點

若對於點M₀，存在某個δ＞0，使U_δ（M₀）∩E=Ø，即存在以M₀為心之充分小的開圓與E不交，則稱M₀為E之外點.

（3）E之邊界點

若對於點M₀，任意的δ＞0都使U_δ（M₀）中既有E之點，又有非E之點，即對任意δ>0，U_δ（M₀）∩E≠Ø且U_δ（M₀）⊄E，則稱M₀為E之邊界點. ^[2] 

設點P∈R²，點集E⊂R²，如果對於任意給定的δ>0，點P的去心鄰域

內總有E中的點，則稱P是E的聚點. ^[3] 

若點集E中之點，都是E之內點，則稱E為開集；若點集E包含E之一切邊界點，則稱E為閉集.

E之一切邊界點組成的集合，稱為E之邊界，記作∂E. ^[2] 

若集合E中任意兩點可以由一條完全在E中之折線連接起來，則稱E為連通集. ^[2] 

連通的開集稱為區域或開區域.開區域連通它的邊界一起所構成的點集稱為閉區域. ^[4] 

對於平面點集E，如果存在某一正數r，使得E⊂U（O，r），其中O是座標原點，則稱E為有界集，否則E為無界集. ^[4] 

設二元函數f（P）=f（x，y）的定義域為D，P₀（x₀，y₀）是D的聚點.如果存在常數A，對於任意給定的正數ε，總存在正數δ，使得當P（x，y）∈D∩

時，都有

|f（P）-A|=|f（x，y）-A|＜ε

成立，那麼就稱常數A為函數f（x，y）當（x，y）→（x₀，y₀）時的極限，記作

或f（x，y）→A（（x，y）→（x₀，y₀）），

也記作

或f（P）→A（P→P₀）.

為了區別於一元函數的極限，我們把二元函數的極限叫做二重極限. ^[5] 

必須注意，所謂二重極限存在，是指P（x，y）以任何方式趨於P₀（x₀，y₀）時，f（x，y）都無限接近於A.因此，如果P（x，y）以某一特殊方式，例如沿着一條定直線或定曲線趨於P₀（x₀，y₀）時，即使f（x，y）無限接近於某一確定值，我們還不能由此斷定函數的極限存在.但是反過來，如果當P（x，y）以不同方式趨於P₀（x₀，y₀）時，f（x，y）趨於不同的值，那麼就可以斷定這函數的極限不存在.

關於二元函數的極限運算，有與一元函數類似的運算法則. ^[6] 

如果函數f（x，y）在點P₀（x₀，y₀）處極限存在且為f（x₀，y₀），即有

，則稱函數f（x，y）在P₀（x₀，y₀）處連續.

如果函數f（x，y）在區域D內的每一點處都連續，則稱函數f（x，y）在D內連續. ^[7] 

一切二元初等函數在其定義區域內是連續的.所謂定義區域是指包含在定義域內的區域或閉區域. ^[8] 

在有界閉區域D上的二元連續函數，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.

在有界閉區域D上的二元連續函數必取得介於最大值與最小值之間的任何值.

在有界閉區域D上的二元連續函數必定在D上一致連續. ^[9] 

設D為f（x，y）的定義區域，若對於任意給定的正數ε，總存在正數δ，使得對於D上的任意兩點P₁、P₂，只要當|P₁P₂|<δ時，都有|f（P₁）-f（P₂）|＜ε，則稱f（x，y）在D上一致連續. ^[9] 

令二元函數z=f（x，y）的自變量y保持定值y₀，這時z就成為自變量x的一元函數.如果這個一元函數z=f（x，y₀）在x₀處的微商存在，則稱此微商為函數z=f（x，y）在點（x₀，y₀）處對x的偏微商（或偏導數），記作f_x（x₀，y₀），或記作

z_x（x₀，y₀），

，

. ^[10] 

例如，函數z=x²+xy+y²在（x₀，y₀）處對x的偏微商z_x（x₀，y₀）就是一元函數z=x²+xy₀+y₀²在x₀處的微商，即z_x（x₀，y₀）=2x₀+y₀.

如果函數在區域D內每一點（x，y）處都有偏微商f_x（x，y），f_y（x，y），則稱這兩個偏微商也是D內x和y的二元函數. ^[11] 

二元函數z=f（x，y）的兩個偏微商f_x（x，y），f_y（x，y）仍然是x與y的二元函數.如果將這兩個偏微商再對x或y求偏微商，則得出函數z=f（x，y）的二階偏微商，顯然二元函數的二階偏微商共有四個，它們是

，

，

，

.

也常用下列記號表示它們：

，

，

，

.

上面的第二個與第三個二階偏微商中包含着對不同自變量的偏微商，這叫混合偏微商. ^[12] 

對二階偏微商再對x或y求多次偏微商，可得三階偏微商、四階偏微商……當n>1且n∈Z時，n階偏微商稱高階偏微商（高階偏導數）.

設函數z=f（x，y）在點（x₀，y₀）的某鄰域內有定義，若自變量x與y各有增量△x與△y，則稱

△z=f（x₀+△x，y₀+△y）-f（x₀，y₀）

為函數f（x，y）在點（x₀，y₀）的全增量.

如果存在常數A與B，使得函數在點（x₀，y₀）的全增量△z可以表示為

△z=A△x+B△y+o（ρ）（ρ→0），

其中ρ=

，則稱A△x+B△y為函數z=f（x，y）在點（x₀，y₀）的全微分，記作

或df（x₀，y₀），

這時稱函數z在點（x₀，y₀）處可微.

若函數在區域D內任一點處都可微，則稱函數在D內是可微的.

若函數f（x，y）在點（x₀，y₀）處可微，則函數f（x，y）在點（x₀，y₀）處的兩個偏微商都存在，並且

其中A，B是全微分定義中的常數.

若函數z=f（x，y）的兩個偏微商在點（x₀，y₀）處連續，則函數f（x，y）在點（x₀，y₀）處可微. ^[13] 

設M₀（x₀，y₀，f（x₀，y₀））為曲面z=f（x，y）上的一點，過M₀作平面y=y₀，截此曲面得一曲線，此曲線在平面y=y₀上的方程為z=f（x，y₀），則導數

，即偏導數f_x（x₀，y₀），就是這曲線在點M₀處的切線M₀T_x對x軸的斜率. ^[14]