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一致連續
鎖定
某一函數f在區間I上有定義，如果對於任意的ε>0，總有δ>0 ，使得在區間I上的任意兩點x'和x"，當滿足|x'-x"|<δ時，|f(x')-f(x")|<ε恆成立，則該函數在區間I上一致連續。對於在閉區間上的連續函數，其在該區間上必一致連續。一致連續的函數必定是連續函數。
- 中文名
- 一致連續
- 外文名
- Uniform Continuity
- 所屬學科
- 高等數學
- 特 點
- 一致連續的連續性比連續更強
- Cantor定理
- f在[a,b]連續則在該區間一致連續
- 性 質
- 一致連續的函數必定是連續函數
一致連續定義
參數
僅與
有關，與所選取的任意兩點
無關，即
。
一致連續意義
一致連續定理
一致連續定理1 Cantor定理或一致連續性定理
一致連續定理2
若函數
為
上的連續週期函數，則
在
上一致連續。
一致連續定理3
若
在有限開區間
上嚴格單調且連續，則其反函數
在區間
上一致連續。
一致連續定理4
設
在
上連續，若
和
都存在，則
在
上一致連續。
一致連續定理5
設對於定義在區間I上的函數
，
，
，有
一致連續性質
1）設函數
在區間
和
上一致連續，若
，則
在
上也一致連續；
2）若函數
都在區間I上一致連續，則
也在區間I上一致連續；
3）若
在有限區間I上一致連續，則
在I上有界；
4）若函數
都在有限區間I上的有界的一致連續函數，則
在區間I上也一致連續；
一致連續舉例
函數
在
上一致連續。
證明如下：
①任取
，由三角函數可知
在閉區間
上連續，由上述的定理1可知，
在
上一致連續。
②對於區間
，對
，取
，對
，當
時，有
即
在區間
上一致連續。
綜上，
在
上一致連續。
