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連續
(數學名詞)
鎖定
目錄
連續實值連續函數
最基本也是最常見的連續函數是定義域為實數集的某個子集、取值也是實數的連續函數。函數的連續性可以用直角座標系中的圖像來表示。一個這樣的函數是連續的,如果粗略地説,它的圖像為一個單一的不破的曲線,並且沒有間斷、跳躍或無限逼近的振盪。
嚴格來説,設
是一個從實數集的子集
射到
的函數:
。
在
中的某個點
處是連續的當且僅當以下的兩個條件滿足:
1.
在點
上有定義。
我們稱函數到處連續或處處連續,或者簡單的稱為連續,如果它在其定義域中的任意一點處都連續。更一般地,當一個函數在定義域中的某個子集的每一點處都連續時,就説這個函數在這個子集上是連續的。
連續定義
不用極限的概念,也可以用下面所謂的
方法來定義實值函數的連續性。
仍然考慮函數
。假設
是
的定義域中的元素。函數
被稱為是在
點連續當且僅當以下條件成立:
對於任意的正實數
,存在一個正實數
使得對於任意定義域中的
,只要
滿足
,就有
成立。
連續性的“
定義”由柯西首先給出。
更直觀地,函數
是連續的當且僅當任意取一個
中的點
的鄰域
,都可以在其定義域
中選取點
的足夠小的鄰域,使得
的鄰域在函數
上的映射下都會落在
的鄰域
之內。
連續例子
- 絕對值函數也是連續的。
- 定義在非零實數上的倒數函數f= 1/x是連續的。但是如果函數的定義域擴張到全體實數,那麼無論函數在零點取任何值,擴張後的函數都不是連續的。
- 非連續函數的一個例子是分段定義的函數。例如定義f為:f(x) = 1如果x> 0,f(x) = 0如果x≤ 0。取ε = 1/2,不存在x=0的δ-鄰域使所有f(x)的值在f(0)的ε鄰域內。直覺上我們可以將這種不連續點看做函數值的突然跳躍。
- 另一個不連續函數的例子為符號函數。
連續連續函數的性質
如果兩個函數f和g是連續的,
為一個實數,那麼
、
和
都是連續的。所有連續函數的集合構成一個環,也構成一個向量空間(實際上構成一個代數)。如果對於定義域內的所有
,都有
,那麼
也是連續的。兩個連續函數的複合函數
也是連續函數。
如果實函數f在閉區間內連續,且
是某個
和
之間的數,那麼存在某個
內的
,使得
,這個定理稱為介值定理。例如,如果一個小孩在五歲到十歲之間身高從1米增長到了1.5米,那麼期間一定有某一個時刻的身高正好是1.3米。
如果f在
內連續,且
和
一正一負,則中間一定有某一個點
,使得
。這是介值定理的一個推論。
如果f在閉區間
內連續,則它一定取得最大值,也就是説,總存在
,使得對於所有的
,有
。同樣地,函數也一定有最小值。這個定理稱為極值定理。(注意如果函數是定義在開區間
內,則它不一定有最大值和最小值,例如定義在開區間(0,1)內的函數
。)
連續度量空間之間的連續函數
考慮從度量空間
到另一個度量空間
的函數
。
如果函數
在點
連續,則對
中任何序列
,只要
,就有
。連續函數將極限變成極限。
後一個條件可以減弱為:
連續拓撲空間之間的連續函數
連續相關條目
- 單一連續
- 絕對連續
- 參考資料
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- 1. Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).
- 2. Friedrich Hirzebruch. Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis (= B. I.-Hochschultaschenbücher. Band 296). Bibliographisches Institut, Mannheim [u. a.] 1971, ISBN 3-411-00296-4 (MR0463864).
- 3. Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 2001, ISBN 3-540-67790-9.
- 4. Visual Calculus by Lawrence S. Husch, University of Tennessee (2001)