聚點

任給

，存在無窮多個

滿足

則稱

為複數序列

的一個聚點。 ^[2] 

有的序列可以有多個聚點。例如，實數序列

就有兩個聚點1和-1.當序列的極限存在時，序列的極限是此序列的唯一聚點。 ^[3] 

在實數序列

中，數值最大的聚點稱為

的上極限，記作

數值最小的聚點稱為

的下極限，記作

對於上述序列

上極限與下極限的概念在計算級數收斂半徑時常會用到。 ^[2] 

a是X的聚點的充要條件是：存在X中的各項不同的數列

，使得 ^[3] 

事實上，只要證明在

且

的數列

中，可以選出各項不同的子數列就可。因為

且

，這説明該數列不可能只有有限多個不同項組成(否則必有一項的值在

中無窮次出現，這樣

就收斂到該值，而它又不等於a，從而得出矛盾)，取這些不同項，按原來的順序排列後所得數列就是定理所要求的數列。

例 給出以[0，1]上所有實數為聚點的數列。 ^[3] 

解 利用(0，1)上的有理數集的聚點就是[0，1]這個事實，來

構造數列如下：

當然上述數列的項有相同的，如果捨去和前面相同的項的話，就得到一個各項不同的數列，它以[0，1]上實數為聚點，而各項又都是有理數。

（維爾斯特拉斯聚點定理）任何有界的無窮數集，都有聚點存在。 ^[3] 

(波爾察諾定理) 有界數列有收斂的子數列。

證明 若數列

有無窮多項相同，它們重複出現的序號為

則

就是一個收斂的子數列。若

沒有無窮多項相同，則數集

為無窮有界數集，則由聚點原理，必有聚點a存在。再由定理1，在數集

中有一個數列

，a，以

的次序排列

後，得

的一個子數列，它以a為極限，其中用了收斂數列重排後極限不變。 ^[3]