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符號函數

鎖定
數學上的Sgn 函數返回一個整型變量，指出參數的正負號。語法Sgn(number)， number 參數是任何有效的數值表達式。返回值如果 number 大於0，則Sgn 返回1；等於0，返回0；小於0，則返回-1。number 參數的符號決定了Sgn 函數的返回值。
中文名
符號函數
性    質
數學上的Sgn函數返回個整型變量
艾佛森括號
sgn x= − [x< 0] + [x> 0]
功    能
尋找函數的零點，討論絕對值問題

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 性質
  3. 3 特性
  4. 4 應用

符號函數定義

符號函數 符號函數
符號函數（signum）可由階躍信號得來。對於符號函數在跳變點可以不予定義，或規定sgn（0）=0。
顯然，可以用階躍信號來表示符號函數：
sgn（x）=2u（t）-1
即 x>0,sgnx=1
x=0,sgnx= 0
x<0,sgnx=-1

符號函數性質

用艾佛森括號定義：
sgn x= − [x< 0] + [x> 0]任何實數都可以表示為其絕對值和符號函數的積：
x= (sgn x) | x|若x不為零，可以由上式得出符號函數的另一個定義：
sgn(x)=x/|x|
符號函數是絕對值函數的導數：
d|x|/dx=x/|x| 除了在0，符號函數可微分，其導數為0。透過一般化微分概念，可以説符號函數是狄拉克δ函數的兩倍：
dsgn(x)/dx=2δ（x） 它和單位步階函數的關係：
sgn x= 2H1 / 2(x) − 1

符號函數特性

  1. 其定義域為R，值域為{-1,0,1}；
  2. 有唯一的跳躍間斷點x=0；
  3. 單調性：它是不嚴格遞增的非週期函數；
  4. 奇偶性：由
    可知它在定義域R內是奇函數；
  5. 可導性：它在非原點處都可導，且導數為0；
  6. 它在
    上沒有原函數；
  7. 它在任意區間
    上都Riemann可積；
  8. 。

符號函數應用

  1. 可用於説明可積函數不一定存在原函數由於x=0是y=sgn(x)的唯一跳躍間斷點，故在任何以x=0為內點的區間上，sgn(x)不存在原函數。而在任何以閉區間[a,b]上Riemann可積，且
    ，在x=0處
    不可導，F(x)並不是y=sgn(x)的原函數，説明可積函數不一定存在原函數，有助於弄清楚函數的Riemann可積與存在原函數之間互不藴含的關係，還可以作為原函數存在定理中條件f(x)在[a,b]上連續不滿足時，結論不成立的反例，強調條件不可缺少而引起重視 [1]  。
  2. 用於簡化帶絕對值函數積分的計算對含有絕對值的函數，可先把絕對值去掉化為分段函數求解，也可以用一種更為簡單的求解方法，就是引入符號函數來簡化積分的運算。
例:
符號函數在積分過程中可視為常數係數，是解題過程簡化。因此對於一些含有絕對值的函數可用此法解決。
參考資料