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可積函數

數學上，可積函數是存在積分的函數。除非特別指明，一般積分是指勒貝格積分；否則，稱函數為"黎曼可積"（也即黎曼積分存在），或者"Henstock-Kurzweil可積"，等等。黎曼積分在應用領域取得了巨大的成功，但是黎曼積分的應用範圍因為其定義的侷限而受到限制；勒貝格積分是在勒貝格測度理論的基礎上建立起來的，函數可以定義在更一般的點集上，更重要的是它提供了比黎曼積分更廣泛有效的收斂定理，因此，勒貝格積分的應用領域更加廣泛。

中文名: 可積函數
外文名: Integrable function
定義: 如果f(x)在[a,b]上的定積分存在

分類: 黎曼積分、勒貝格積分
充分條件: f(x)在區間[a,b]上連續
勒貝格可積性: 可積函數是存在積分的函數
類型: 數學學科概念

可積函數定義

黎曼可積

設

是定義在區間

上的一個函數，

是一個確定的實數。若對任意的正數

，總存在某一正數

，使得對

的任何分割

，以及在其上任意選擇的點集

，只要

，就有

，則稱

在區間

上可積或黎曼可積。^[1]

勒貝格積分

定義勒貝格積分常用的方法：

對可測集

上的有界可測函數

，找一串數

，使

，

，任取

，討論和式

，當

時，極限是否存在。^[2]

黎曼積分與勒貝格積分

黎曼積分在應用領域取得了巨大的成功，但是黎曼積分的應用範圍因為其定義的侷限而受到限制。由於黎曼可積函數主要是連續函數或不連續點不太多的函數，使得黎曼積分在量子力學和概率論中的應用都遇到了瓶頸。僅從數學分析中的一些重要結果如積分與極限交換次序、重積分交換次序、牛頓一萊布尼茨公式等來看，黎曼積分要求的條件苛刻，對於一些問題的處理顯得力不從心，但是在勒貝格積分的框架下，上述問題就會得到較為圓滿的解決。另外為引入積分而得到的勒貝格測度概念還使數學分析中本來很難講清楚的一些道理（如單調函數的可微性、黎曼可積的充要條件等）變得清晰。^[2]

勒貝格積分是在勒貝格測度理論的基礎上建立起來的。這一積分可以統一處理函數有界與無界的情形，函數也可以定義在更一般的點集上，更重要的是它提供了比黎曼積分更廣泛有效的收斂定理。因此，勒貝格積分的應用領域更加廣泛，特別對概率論與數理統計的深入學習有十分重要的意義。^[2]