狄利克雷函數

狄利克雷函數是一個定義在實數範圍上、值域不連續的函數。狄利克雷函數的圖像以Y軸為對稱軸，是一個偶函數，它處處不連續，處處極限不存在，不可黎曼積分。這是一個處處不連續的可測函數。

實數域上的狄利克雷（Dirichlet）函數表示為：

（k，j為整數）也可以簡單地表示分段函數的形式D(x)= 0（x是無理數）或1（x是有理數）

1、定義域為整個實數域R

2、值域為{0,1}

3、函數為偶函數

4、無法畫出函數圖像，但是它的函數圖像客觀存在

5、以任意正有理數為其週期，無最小正週期（由實數的連續統理論可知其無最小正週期）

1、處處不連續

2、處處不可導

3、在任何區間內黎曼不可積

4、函數是可測函數

5、在單位區間[0,1]上勒貝格可積，且勒貝格積分值為0（且任意區間<a,b>以及R上甚至任何R的可測子集上（區間不論開閉和是否有限）上的勒貝格積分值為0 ）

對性質5的説明：雖然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可積條件（説明中Q為有理數集） ^[1]  。

狄利克雷函數是週期函數，但是卻沒有最小正週期，它的週期是任意正有理數。因為不存在最小負有理數和正有理數，所以狄利克雷函數不存在最小正週期。

狄裏克雷（Dirichlet，Peter Gustav Lejeune，1805～1859），德國數學家。對數論、數學分析和數學物理有突出貢獻，是解析數論的創始人之一。1805年2月13日生於迪倫，1859年5月5日卒于格丁根。中學時曾受教於物理學家G.S.歐姆；1822～1826年在巴黎求學，深受J.B.J.傅里葉的影響 。回國後先後在佈雷斯勞大學、柏林軍事學院和柏林大學任教27年，對德國數學發展產生巨大影響。1839年任柏林大學教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大學的教授職位。

在分析學方面，他是最早倡導嚴格化方法的數學家之一。1837年他提出函數是x與y之間的一種對應關係的現代觀點。

在數論方面，他是高斯思想的傳播者和拓廣者。1833年狄裏克雷撰寫了《數論講義》，對高斯劃時代的著作《算術研究》作了明晰的解釋並有創見，使高斯的思想得以廣泛傳播。1837年，他構造了狄裏克雷級數。1838～1839年，他得到確定二次型類數的公式。1846年，使用抽屜原理。闡明代數數域中單位數的阿貝爾羣的結構。

在數學物理方面，他對橢球體產生的引力、球在不可壓縮流體中的運動、由太陽系穩定性導出的一般穩定性等課題都有重要論著。1850年發表了有關位勢理論的文章，論及著名的第一邊界值問題，現稱狄裏克雷問題。

狄利克雷函數的出現．表示數學家“J對數學的理解發生了深刻的變化。數學的一些“人造”特徵開始展現出來這種思想也標誌着數學從研究“算”轉變到了研究“概念、性質、結構”狄利克雷是數學史上第一位重視概念的人。並且是有意識地“以概念代替直覺”的人。在狄利克雷之前，數學家們主要研究具體函數進行具體計算，他們不大考慮抽象問題。但狄利克雷之後，事情逐漸變化了。人們開始考慮函數的各種性質，例如(函數的)對稱性、增減性、連續性等。