奇偶性

設函數f(x)的定義域D；

⑴如果對於函數定義域D內的任意一個x，都有f(-x)=－f（x），那麼函數f（x）就叫做奇函數。

⑵如果對於函數定義域D內的任意一個x，都有f(-x)=f（x），那麼函數f（x）就叫做偶函數。

⑶如果對於函數定義域D內的任意一個x，f(-x)=-f(x）與f(-x)=f(x）同時成立，那麼函數f(x）既是奇函數又是偶函數，稱為既奇又偶函數。

⑷如果對於函數定義域內的任意一個x，f(-x)=-f(x）或f(-x)=f(x）都不能成立，那麼函數f(x）既不是奇函數又不是偶函數，稱為非奇非偶函數。

説明：①奇、偶性是函數的整體性質，對整個定義域而言。

②奇、偶函數的定義域一定關於原點對稱，如果一個函數的定義域不關於原點對稱，則這個函數一定不是奇（或偶）函數。

（分析：判斷函數的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否關於原點對稱，然後再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與f(x）比較得出結論）

③判斷或證明函數是否具有奇偶性的根據是定義、變式。

變式：奇：f(x)+f(-x)=0; f(x)*f(-x)=-f^2(x); f(x)/f(-x)=-1.

偶：f(x)-f(-x)=0; f(x)*f(-x)=f^2(x); f(x)/f(-x)=1. ^[2] 

定理：奇函數的圖像關於原點成中心對稱圖形，偶函數的圖象關於y軸對稱。

推論：如果對於任一個x，都有f(a+x)+f(b-x)=c，那麼函數圖像關於（a/2+b/2，c/2）中心對稱；

如果對於任意一個x，有f(a+x)=f(a-x），那麼函數圖像關於x=a軸對稱。

奇函數的圖像關於原點對稱

點（x,y）→（-x,-y）

偶函數的圖像關於y軸對稱

點（x,y）→（-x,y）

奇函數在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上也是單調遞 ^[3]  增。

偶函數在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上單調遞減。

⑴ 兩個偶函數相加所得的和為偶函數。

⑵ 兩個奇函數相加所得的和為奇函數。

⑶ 兩個偶函數相乘所得的積為偶函數。

⑷ 兩個奇函數相乘所得的積為偶函數。

⑸一個偶函數與一個奇函數相乘所得的積為奇函數。

⑹幾個函數複合，只要有一個是偶函數，結果是偶函數；若無偶函數則是奇函數。

⑺偶函數的和差積商是偶函數。

⑻奇函數的和差是奇函數。

⑼奇函數的偶數個積商是偶函數。

⑽奇函數的奇數個積商是奇函數。

⑾奇函數的絕對值為偶函數。

⑿偶函數的絕對值為偶函數。

偶函數在對稱區間上的單調性是相反的。

奇函數在整個定義域上的單調性一致。 ^[3] 

判斷函數奇偶性時首先要看其定義域是否關於原點對稱。一個函數是奇函數或偶函數，其定義域必須關於原點對稱。

一個數滿足xmod2=1，那麼它是奇數；

一個數滿足xmod2=0，那麼它是偶數。

注：mod 是餘數的意思。 例如：m=xmod2 ,x=7的話，m=1 ^[4]