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半連續

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半連續，數學概念，定義在拓撲空間E上的數值函數f稱為在E的點x0下(上)半連續，如果對滿足b0)(b>f(x0))的R上任一元素b，存在x0的鄰域V，使對V上的任一點x，bf(x))，如果f在E上的任一點都是下(上)半連續的，則稱f在E上是下(上)半連續的。
為使數值函數f在x0點是連續的，必須且只須它在該點既是下半連續又是上半連續的。為使f在點x0下半連續,必須且只須其反號函數-f在該點上半連續。設(fi)i∈I為定義在拓撲空間E上、而在E的點x0下半連續的數值函數族， 則族(fi)i∈I的上包絡在x0點下半連續，如果集合I是有限的，則族(fi)i∈I的下包絡在x0點也是下半連續的，為使拓撲空間E的一個子集是開的(閉的)，必須且只須它的特徵函數在E上是下(上)半連續的。在緊空間上定義且下半連續的數值函數f可達到其下確界。 [1] 
中文名
半連續
外文名
semicontinuous
所屬學科
數理科學
分    類
上半連續、下半連續
相關概念
閉集、拓撲空間等
類    型
數學概念

目錄

  1. 1 簡介
  2. 2 相關性質定理
  1. ▪ 命題1
  2. ▪ 命題2
  3. ▪ 性質1
  1. ▪ 性質2
  2. ▪ 性質3

半連續簡介

如果某個函數
的上圖是閉集，我們稱
為閉函數。閉性與經典的下半連續性的概念有關，函數
是在向量
處下半連續的，如果
對於每個滿足
的點列
成立，我們稱
是下半連續的(lower semicontinuous)，如果它在定義域X的每一點x處都是上半連續的，我們稱
是上半連續的(upper semicontinuous)，如果
是下半連續的，這些定義與針對實函數的相應定義是一致的。 [2] 

半連續相關性質定理

以下命題將函數的閉性、下半連續性和函數水平集的閉性聯繫起來。見圖1
圖1
圖1 函數上圖和它的水平集關係的示意圖，易見水平集
經過平移後等同於
和“切片”
的交集，這表明
為閉當且僅當所有的水平集為閉。 [2] 

半連續命題1

對於函數
，以下各款等價：
(i)水平集
對每個標量
均為閉；
(ii)函數
為下半連續的；
(iii)集合
為閉。 [2] 
證明： 如果
對所有
成立，那麼結果是平凡的，顯然成立。我們假定
對至少一個
成立，這樣
就是非空的，且
至少有一個非空的水平集，先來證明(i)藴含(ii)。假定水平集
對於每個標量
都是閉的，反設
對某個
和收斂到
的點列
成立，並且令
為滿足
的標量。那麼必存在子列
使得
對所有
成立，於是
成立，由於
是閉的，
必然也屬於
，於是
，從而導出矛盾。
下面證明(ii)藴含(iii)，假定
在
上為下半連續，並令
為點列
的極限，於是我們有
，進而令
，由
在
處的下半連續性，我們得到
於是，
故
為閉。
最後證明(iii)藴含(i)。假定
為閉，且令
為點列，它收斂到某個
且屬於對應於某個標量
的水平集
，於是
對於所有的k成立，並且
，因而由於
為閉，我們有
，故
屬於
，這意味着這個集合是閉的。
在大部分推導中，我們傾向於採用閉性的概念，而較少用到下半連續性，其中的一個原因是，不同於閉性，下半連續性是一個與定義域有關的性質。例如，由
定義的函數
既不是閉的也不是下半連續的；但如果把它的定義域限制到(0，1)上，就變成為下半連續。
另一方面，如果函數
具有閉的有效定義域
且在每個
處均為下半連續，那麼
必然是閉的，我們把這個結論敍述為一個命題，其證明可以據命題1證明(ii)藴含(iii)的過程給出。

半連續命題2

令
為一函數，如果它的有效定義域
是閉的，且
在每個
處均是下半連續的，那麼函數
是閉的。
舉例來説，集合X的示性函數為閉當且僅當X是閉的(“當”的部分可以根據上述命題得出，而“僅當”的部分可以用上圖的定義導出)，更一般地，如果
是形如
的函數，其中
為連續函數，那麼可以證明
是閉的當且僅當X是閉的。
最後需要指出非真的閉凸函數非常特殊：它不能在任何點上取有限值，因此它具有如下形式
為明白其中的原因，讓我們來考慮非真的閉凸函數
，並假定存在着某個x使得
為有限．令
滿足
。(這樣的點必然存在，因為
是非真的並且
不恆等於∞)，因為
是凸的，可知每個點
都滿足
，同時有
，因為
是閉的，這意味着
，從而導出矛盾，總之，非真的閉凸函數在任何點都不能取有限值。 [2] 

半連續性質1

若干個半連續函數，它們的和是一個無處半連續的函數。

半連續性質2

兩個半連續函數，其最小值函數並不半連續。

半連續性質3

一個收斂的上半連續函數序列，其極限函數並不上半連續。 [3] 
參考資料
  • 1.    谷超豪．數學詞典：上海辭書出版社，1998-08
  • 2.    （美）DIMITRI P.BERTSEKAS著；趙千川，王夢迪譯．凸優化理論=DONVEX OPTIMIZATION THEORY：清華大學出版社，2015.11
  • 3.    汪林．實分析中的反例：高等教育出版社，2014.01