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等值集

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等值集(level set)亦稱水平集，是等高線、等高面的數學抽象，設函數f：A→R，A⊆Rn，對於常數c，集合{x∈A|f(x)=c}稱為f的c等值集，簡稱等值集，當n=2或3時，等值集常常是曲線或曲面，稱為等值線(又稱等高線)或等值面(又稱等高面)，例如，設想f(x)為R3中的温度場，則等值面就是等温面，等值集常用於研究多元特別是二元實值函數的圖象 [1]  。
中文名
等值集
外文名
level set
所屬學科
數學
別    名
水平集，c等值集
應    用
研究多元特別是二元函數的圖象
簡    介
等高線、等高面的數學抽象

目錄

  1. 1 基本介紹
  2. 2 例題解析

等值集基本介紹

設f(P)為一函數，c為其值域內的一個數，集合{P|f(P)=c}稱為此函數的c等值集。對不同的c，相應有不同的c等值集。
若P是二維的，則c等值集為{(x,y)|f(x,y)=c)，一般説來，它是一條曲線。
若P是三維的，則c等值集為{(x,y,z)|f(x,y,z)=c)，一般説來，它是一個曲面。
若P是更高維的，則c等值集就沒有直觀意義。
c等值集可以幫助我們瞭解f(P)隨P而變的情況 [2]  。

等值集例題解析

【例1】設
為已給函數f(P)。
為其4—等值集，它是個圓；
為其3—等值集，它是個圓；
為其2—等值集，它是個圓；
為其1—等值集，它是個圓。
從這些等值集可見當
增加時，f(P)也增加f(P)之圖像一個茶杯(圖1) [2]  。
圖1 圖1
【例2】設
為已給函數。
為其1—等值集，它是個圓；
為其2—等值集，它是個圓；
為其3—等值集，它是個圓；
為其4—等值集，它是個點圓。
從這些等值集可見當
減小時f(P)增加，f(P)的圖象像一頂草帽(圖2) [2]  。
圖2 圖2
【例3】
的k等值集是
=k。它是一個以(a，b，c)為球心，
為半徑的球面。球越大，函數值也越大。
從這個例子可見，即使我們不能畫出函數的圖象，但還是可以通過等值集大致地看出函數值的改變情況。
f(x,y,z)的k等值集是{(x,y,z)|f(x,y,z)=k}。如記f(x,y,z)-k為F(x,y,z)，則此等值集即{(x,y,z)|F(x,y,z)=0}不管什麼F(x,y,z)=0，這種集合也叫做F(x,y,z)=0的圖象而F(x,y,z)=0則叫這圖象的方程 [2]  。
參考資料
  • 1.    數學辭海編輯委員會．數學辭海·第一卷 ：中國科學技術出版社，2002.08
  • 2.    孫家永．高等學校教材 微積分學：西北工業大學出版社，1995年06月第1版：第269頁