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有界線性算子
鎖定
泛函分析中一種重要的算子。
算子(映射)有線性和非線性之分.線性算子又分為有界和無界兩類,有界線性算子是線性賦範空間的基本概念。
- 中文名
- 有界線性算子
- 外文名
- boundedlinearoperator
- 所屬領域
- 數理科學
- 反義詞
- 無界線性算子
有界線性算子基本定義
則稱T是可加的.如果T滿足:
有界線性算子舉例
下面介紹幾個簡單例子.
例l1 設V是賦範空問,定義
則I與θ都是V上(即V到V)的有界線性算子,分別稱為恆等算子與零算子,零
算子θ常記為0(與數零用同一記號).
例2 解析幾何中的旋轉變換:
是實二維空間R²上的有界線性算子,因為
有界線性算子相關概念
有界線性算子範數
與Ⅳ中向量類似.函數和數列範數同樣是各自所在線性賦範空間的重要度量,它度量了抽象空間中向量的某種“能力”和“強度”,如峯值、能量、絕對均值等。有界線性算子集合也可以構成自己的線性賦範空間。有界線性算子也有範數,可度量和描述有界線性算子的某種映射“功能”“作用”或“過程”等。也就是需要用非負的實數以最簡明的方式來度量和描述線性算子“功能”。範數不但是重要的數學概念,也是工程技術領域中普遍應用的概念和思維方式。
設X,Y為線性賦範空間,T為X→Y的有界線性算子,對任何x∈X,稱
為有界線性算子的範數。當確定了一個最小的非負數M使上式集合中表示條件的等號
成立時,則有
為T對||x||的“放大”倍數.它顯然隨x∈X而變化,在X中遍取x獲取||T(x)||的最大值(最小上界),則
可以作為有界線性算子的範數,即有界線性算子對線性賦範空間X中抽象向量X的範數
||X||的最大“放大”能力。正像衡量運動員百米速度一樣,要記下所有運動員在相同條
件下的比賽成績.以成績作為人類百米賽速度的一種度量,即世界紀錄。對個人來
講,也是用歷次成績的值作為自己的榮耀。
由於T是線性算子.當x“方向''確定以後.算子T的“放大''能力應該是
x“方向”上的常數比值,即
上式利用了線性映射齊次性式和範數齊次性。於是,可以規定一個“標準”,||X||
等於某個常數(一般取1),x成為X中單位球面上的向量,體現了“大小”因素的標準化,
使x僅存方向因素對||T||有影響。於是
有界線性算子相關定理
空間,T:D→Y為線性算子,那麼
(1)T有界的充要條件是存在正常數μ,使得
(2)T在D上連續的充要條件是T在D的某一點X0上連續;
(3)T為有界算子的充要條件是T為連續算子.
有界線性算子等價形式
1、
是有界線性算子。
2、
是連續線性算子。
3、 存在
,
在
處連續。
4、 存在
使得