介值定理

介質定理是微積分中的一個重要定理，此定理敍述了有界閉區間上的連續函數的性質。 ^[4] 

介值定理説明如下。

考慮實數域上的區間

以及在此區間上的連續函數

。那麼，

（1）如果u是在f(a)和f(b)之間的數，也就是説：

那麼，存在

使得

。

（2）值域

也是一個區間，或者它包含

，或者它包含

。 ^[2] 

定理取決於，或者説等價於實數的完整性。 介值定理不適用於有理數Q，因為有理數之間存在無理數。 例如，函數

滿足

。 然而，不存在有理數x使得

，因為

是一個無理數。

該定理可以根據實數的完整性來證明：

我們將證明第一種情況，

，第二種情況類似。

讓S是[a，b]中的所有x的集合，讓

。S是非空的因為a是S的元素，並且b是S的邊界。 因此，通過完整性，存在上限

。 也就是説，c是大於或等於S的每個元素的最小數。我們稱

。

存在

。 由於f是連續的，當

時，存在

，使得

。 這意味着

對於所有的

，存在屬於S的

，使得

選擇

，這顯然不會包含在S中，所以我們有

兩種不等式

對於所有的

都是成立的，如我們所説，我們推導出

是唯一可能的值。

介值定理也可以使用非標準分析的方法來證明，這在非常嚴格的基礎上提出了涉及無限小數的“直觀”論證。 （見文章：非標微積分）

對於上面的u = 0，該聲明也稱為博爾扎諾定理。這個定理在1817年被伯納德·博爾扎諾（Bernard Bolzano）首次證明。奧古斯丁 - 路易·柯西在1821年提供了一個證據。兩者的靈感來自於對約瑟夫·路易斯拉格朗日函數的分析正式化的目標。連續函數具有中間值的想法早有起源。西蒙·斯蒂文通過提供用於構造解的十進制擴展的算法，證明了多項式的介值定理（以立方為例）。該算法迭代地將間隔細分為10個部分，在迭代的每個步驟產生一個附加的十進制數字。在給出連續性的正式定義之前，將介值作為連續函數定義的一部分。支持者包括路易斯·阿博加斯特（Louis Arbogast），沒有跳躍的函數滿足介值定理，並且具有尺寸對應於變量大小的增量。早期的作者認為結果是直觀的，不需要證明。博爾扎諾和柯西的觀點是定義一個連貫性的概念（就柯西案中的無限小數而言，在博爾扎諾案中使用實際的不平等），並提供基於這種定義的證據。

“Darboux函數”是具有“介值屬性”的實值函數f，即滿足介值定理的結論：對於f的域中的任何兩個值a和b，以及任何y在f（a）和f（b）中，a和b之間有一些c，f（c）= y。介值定理説每個連續函數都是一個Darboux函數。但是，並不是每個Darboux功能都是連續的；即介值定理的相反是錯的。

例如，對於x> 0和f（0）= 0，取

定義的函數

在x = 0時連續，這個函數在x=0處不連續，但是該函數具有介值屬性。

歷史上，這個介值屬性被建議為實數函數連續性的定義，但這個定義沒有被採納。

Darboux定理指出，由某些區間上某些其他函數的區分產生的所有函數都具有介值屬性（儘管它們不需要連續）。

介值定理是數學分析中最基本的原理之一，但是它只對一維情形成立。 ^[5] 

定理意味着，在世界各地的任何一個大環境中，對於温度，壓力，高程，二氧化碳濃度來説，如果是連續變化的，那麼總是會存在兩個與該變量相同值的對映點。

證明：將f作為圓上的任何連續函數。在圓的中心繪製一條線，在兩個相對的點A和B處與其相交。令d由差

定義。如果線旋轉180度，將取代值-d。由於介值定理，必須有一些中間旋轉角，其中d = 0，因此

在該角度。

對於任何封閉的凸n（n> 1）尺寸形狀。具體來説，對於其領域是給定形狀的任何連續函數，以及形狀（不一定是其中心）內的任何點，相對於函數值相同的給定點存在兩個對象點。證明與上述相同。

這個定理也是為什麼旋轉搖擺表將使其變得穩定的解釋（受到某些容易遇到的限制）。 ^[3] 

如果f(a)與f(b)異號，那麼在開區間（a,b）內至少有一點ξ，使得f(ξ)=0 (a<ξ<b)，則符合零點定理。 ^[1] 

連續曲線弧y=f(x)與水平直線y=C至少相交於一點。特別地，如果A與B異號，則連續曲線與x軸至少相交一次。

在閉區間[a,b]上連續的函數f(x)的值域為閉區間[m,M]，其中m與M依次為f(x)在[a,b]上的最小值和最大值。 ^[1]