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點集拓撲
鎖定
- 中文名
- 點集拓撲
- 外文名
- Point Set Topology
- 領 域
- 拓撲學
點集拓撲定義
點集拓撲研究範圍
具體地説,在點集拓撲學的定義和定理的證明中使用了一些基本術語,諸如:
- 緊緻性和連續性
- 可數性公理
雖然還有其它一些更加複雜的術語,但這些術語通常都直接與這些基本術語相關,並且這些更加複雜的術語不在其他數學分支中廣泛採用。其它的一些拓撲學主要分支有代數拓撲學、幾何拓撲學、微分拓撲學。從這些名稱中也可以看出,點集拓撲為這些領域提供了共通的基礎。
開集和閉集
滿足
的點
着藍色。滿足
的點
着紅色。紅色的點形成了開集。紅色和藍色的點的並集是閉集。
開核和閉包
數學上,特別是在拓撲學中,拓撲空間內點集 S 的內部(interior,又稱開核open kernel)含有所有直觀上“不在 S 的邊界上”的 S 的點。S 的內部中的點稱為 S 的內點。
等價地,S 的內部是 S 補集的閉包的補集。內部的概念在很多情況下和閉包的概念對偶。
一個集合的外部是它補集的內部,等同於它閉包的補集;它包含既不在集合內,也不在邊界上的點。一個子集的內部、邊界和外部一同將整個空間分為三塊(或者更少,因為這三者有可能是空集)。內部和外部總是開的,而邊界總是閉的。沒有內部的集合叫做邊緣集。
數學上,在一個拓撲空間裏,子集S 的閉包是指由S 內所有的點及S 的極限點所組成的一個集合;直觀上來説,即為所有“靠近”S的點所組成的集合。在子集S的閉包內的點稱為S 的閉包點。閉包的概念在許多方面能與內部的概念相類比。
鄰域和鄰近性
緊緻性和連續性
在數學中,如果歐幾里得空間R的子集是閉合的並且是有界的,那麼稱它是緊緻的。例如,在R中,閉合單位區間[0, 1]是緊緻的,但整數集合Z不是(它不是有界的),半開區間[0, 1)也不是(它不是閉合的)。
在數學中,連續是函數的一種屬性。直觀上來説,連續的函數就是當輸入值的變化足夠小的時候,輸出的變化也會隨之足夠小的函數。如果輸入值的某種微小的變化會產生輸出值的一個突然的跳躍甚至無法定義,則這個函數被稱為是不連續的函數(或者説具有不連續性)。
分離公理
在拓撲學及相關的數學領域裏,通常對於所討論的拓撲空間加有各種各樣的限制條件,分離公理即是指之中的某些限制條件。這些分離公理有時候被叫做吉洪諾夫分離公理,得名於安德烈·尼古拉耶維奇·吉洪諾夫。部分分離公理以字母T開頭,是由德文單詞“Trennung”而來,意義是分離。
分離公理之所以稱為公理,是因為以前定義拓撲空間時,有些人會將其也做為公理來定義,而得出意思狹義的拓撲空間。但在拓撲空間的公理化完成後,那些都成了“各種”的拓撲空間。然而,“分離公理”這一詞就這樣固定了下來。
可數集
在數學上,可數集,或稱可列集、可數無窮集合,是與自然數集的某個子集具有相同基數(等勢)的集合。在這個意義下不是可數集的集合稱為不可數集。這個術語是康托爾創造的。可數集的元素,正如其名,是“可以計數”的:儘管計數永遠無法終止,集合中每一個特定的元素都將對應一個自然數。
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- 參考資料
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- 1. Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, New York: McGraw-Hill, 1976, ISBN 0-07-054235-X
- 2. Lang, Serge, Real and Functional Analysis, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1993, ISBN 0-387-94001-4
- 3. Claude Berge, E.M. Patterson (Translator), Topological Spaces: Including a treatment of multi-valued functions, vector spaces and convexity. Dover. ISBN 0-486-69653-7
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