邊界點

邊界點是拓撲空間的基本概念之一，邊界概念是康托爾(Cantor，G.(F.P.))在研究歐幾里得空間的子集情形時首先引入的。

設A是拓撲空間X的子集，x∈X，若x既不屬於A的內部，又不屬於A的外部，亦即x的任意鄰域既含有A的點也含有不屬於A的點，則稱x是A的邊界點。A的所有邊界點組成的集合稱為A的邊界，記為

. ^[2] 

注：將A的全部內點組成的集合記為A^o，則有

設M為帶邊流形，則p∈M稱為M的流形邊界點，若存在座標卡(U,φ)，使得φ(p)為

中的邊界點。 ^[4] 

例1 ^[3]  設A=[-1，0）∪{1/n | n∈N}，則

例2 ^[3]  考慮有理點集Q，則

邊界點處理在數據挖掘技術中有重要意義，它們代表了一類歸屬並不明確的個體，如果單純地依靠某種方法把其歸類到一個特定的簇中，其效果往往適得其反。邊界點不同於孤立點和噪聲點。孤立點是一類在統計上處於少數地位的對象，噪聲點是一類對統計產生干擾或者偏離一定分佈的對象，它們通常位於數據空間的低密區域中，而邊界點則不同，它們是數據空間中處於高密區域邊沿的一類數據對象，它們的一側是高密區域，一側是相對的低密區域。

聚類技術的研究是近幾年研究的一個熱點，已經提出的許多聚類算法，但是，對聚類邊界模式的探討還不多。聚類的邊界點是指位於高密聚類邊沿的一類數據對象，它代表了遊離在兩個或多個類別之間的一類個體對象，其歸屬並不明確，它們常常具有兩個或兩個以上的聚類特徵。邊界點研究有着重要的應用價值。

Chen Xia等提出了聚類邊界點檢測算法BORDER，其邊界點的定義如下：

定義 邊界點(Boundary point)：一個邊界點p是指滿足下列兩個條件的數據對象：

（1）它位於一個高密的區域IR；

（2）p的附近存在一個區域IR’，Density(IR) >> Density(IR’)，或者Density(IR) << Density(IR’)。

聚類的邊界代表了一種潛在的模式，對數據挖掘的着重要的意義。但是涉及的邊界的算法並不多，對其的研究遠遠不夠。

在DBSCAN算法中，提到邊界點：一個非核心點對象，如果其落在某核心點的Eps-鄰域內，則稱之為邊界點。一個邊界點可能同時落入一個或多個核心點的Eps-鄰域。