複製鏈接
請複製以下鏈接發送給好友

指數函數

鎖定
指數函數是重要的基本初等函數之一。一般地,y=a^x函數(a為常數且以a>0,a≠1)叫做指數函數,函數的定義域是 R 。 [1]  注意,在指數函數的定義表達式中,在a^x前的係數必須是數1,自變量x必須在指數的位置上,且不能是x的其他表達式,否則,就不是指數函數 [2] 
中文名
指數函數
外文名
exponential function
一般式
y=a^x(a>0且a≠1) (x∈R)
定義域
x∈R
單調遞增
a>1時
單調遞減
0<a<1
值域區間
(0,+∞)
函數性質
既不是奇函數,也不是偶函數

指數函數基本概念

細胞的分裂是一個很有趣的現象,新細胞產生的速度之快是十分驚人的。例如,某種細胞在分裂時,1個分裂成2個,2個分裂成4個……因此,理想條件下第x次分裂得到新細胞數y與分裂次數x的函數關係式即為:
這個函數便是指函數的形式,且自變量為冪指數,我們下面來研究這樣的函數。
一般地,函數
(a為常數且以a>0,a≠1)叫做指數函數,函數的定義域是R。 [3]  對於一切指數函數來講,值域為(0, +∞)。指數函數中
前面的係數為1。如:
都是指數函數;注意:
指數函數前係數為3,故不是指數函數。 [3] 

指數函數數學解讀

指數函數是數學中重要的函數。應用到值e上的這個函數寫為exp(x)。還可以等價的寫為ex,這裏的e是數學常數,就是自然對數的底數,近似等於 2.718281828,還稱為歐拉 [3] 
當a>1時,指數函數對於x的負數值非常平坦,對於x正數值迅速攀升,在 x等於0的時候,y等於1。當0<a<1時,指數函數對於x的負數值迅速攀升,對於x的正數值非常平坦,在x等於0的時候,y等於1。在x處的切線斜率等於此處y的值乘上lna。即由導數知識得:
作為實數變量x的函數,
的圖像總是正的(在x軸之上)並遞增(從左向右看)。它永不觸及x軸,儘管它可以無限程度地靠近x軸(所以,x軸是這個圖像的水平漸近線。它的反函數自然對數ln(x),它定義在所有正數x上。
有時,尤其是在科學中,術語指數函數更一般性的用於形如
(k屬於R) 的函數,這裏的 a 叫做“底數”,是不等於 1 的任何正實數。本文最初集中於帶有底數為歐拉數e 的指數函數 [3] 
指數函數的一般形式為
(a>0且≠1) (x∈R),從上面我們關於冪函數的討論就可以知道,要想使得x能夠取整個實數集合為定義域,則只有使得a>0且a≠1。

指數函數基本性質

如圖1所示為a的不同大小影響函數圖形的情況 [4] 
圖1 指數函數圖像 圖1 指數函數圖像
在函數中可以看到
(1) 指數函數的定義域為R,這裏的前提是a大於0且不等於1。對於a不大於0的情況,則必然使得函數的定義域不連續,因此我們不予考慮,同時a等於0函數無意義一般也不考慮。
(2) 指數函數的值域為(0, +∞)。
(3) 函數圖形都是上凹的。
(4) a>1時,則指數函數單調遞增;若0<a<1單調遞減的(圖2)。
圖2 指數函數增減性 圖2 指數函數增減性
(5) 可以看到一個顯然的規律,就是當a從0趨向於無窮大的過程中(不等於0)函數的曲線從分別接近於Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置,趨向分別接近於Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。
(6) 函數總是在某一個方向上無限趨向於X軸,並且永不相交。
(7) 函數總是通過(0,1)這點,(若
,則函數定過點(0,1+b))
(8) 指數函數無界。
(9)指數函數是非奇非偶函數
(10)指數函數具有反函數,其反函數是對數函數

指數函數運算法則

[4] 

指數函數函數圖像

圖3 圖像隨底數變化關係 圖3 圖像隨底數變化關係
(1)由指數函數y=a^x與直線x=1相交於點(1,a)可知:在y軸右側,圖像從下到上相應的底數由小變大。
(2)由指數函數y=a^x與直線x=-1相交於點(-1,1/a)可知:在y軸左側,圖像從下到上相應的底數由大變小。
(3)指數函數的底數與圖像間的關係可概括的記憶為:在y軸右邊“底大圖高”;在y軸左邊“底大圖低”。(如右圖)。
(4)
的圖像關於y軸對稱 [1] 

指數函數冪的比較

指數函數常用方法

比較大小常用方法 [4] 
(1)做差(商)法:A-B大於0即A大於B A-B等於0即A=B A-B小於0即A小於B 步驟:做差—變形—定號—下結論 ;A\B大於1即A大於B A\B等於1即A等於B A/B小於1即A小於B (A,B大於0)。
(2)函數單調性法;
(3)中間值:要比較A與B的大小,先找一箇中間值C,再比較A與C、B與C的大小,由不等式傳遞性得到A與B之間的大小。

指數函數注意事項

比較兩個冪的大小時,除了上述一般方法之外,還應注意 [4] 
(1)對於底數相同,指數不同的兩個的大小比較,可以利用指數函數的單調性來判斷。
例如:y1=34 ,y2=35 因為3大於1所以函數單調遞增(即x的值越大,對應的y值越大),因為5大於4,所以y2 大於y1
圖4 指數函數比較實例 圖4 指數函數比較實例
(2)對於底數不同,指數相同的兩個冪的大小比較,可以利用指數函數圖像的變化規律來判斷。
例如:
,
,因為1/2小於1所以函數圖像在定義域上單調遞減;3大於1,所以函數圖像在定義域上單調遞增,在x=0是兩個函數圖像都過(0,1)然後隨着x的增大,y1圖像下降,而y2上升,在x等於4時,y2大於y1。
(3)對於底數不同,且指數也不同的冪的大小比較,則可以利用中間值來比較。如:
<1> 對於三個(或三個以上)的數的大小比較,則應該先根據值的大小(特別是與0、1的大小)進行分組,再比較各組數的大小即可。
<2> 在比較兩個冪的大小時,如果能充分利用“1”來搭“橋”(即比較它們與“1”的大小),就可以快速的得到答案。那麼如何判斷一個冪與“1”大小呢?由指數函數的圖像和性質可知“同大異小”。即當底數a和1與指數x與0之間的不等號同向(例如: a 〉1且x 〉0,或0〈 a〈 1且 x〈 0)時,
大於1,異向時
小於1。
參考資料
  • 1.    吳法源,趙軍主編.高中數學必考公式定律高效速記:華東理工大學出版社,2015.05
  • 2.    黃孝銀主編.教材動態全解 高中數學 B版必修1:東北師範大學出版社,2005.07:307
  • 3.    黃漢禹主編.數學 第一冊:上海教育出版社,2015.08
  • 4.    周洪橋編著.2016管理類聯考 數學 考點解碼:清華大學出版社,2015.07