初等函數

初等函數是由冪函數（power function）、指數函數（exponential function）、對數函數（logarithmic function）、三角函數（trigonometric function）、反三角函數（inverse trigonometric function）與常數經過有限次的有理運算（加、減、乘、除、有理數次乘方、有理數次開方）及有限次函數複合所產生，並且能用一個解析式表示的函數。

它是最常用的一類函數，包括常函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數（以上是基本初等函數），以及由這些函數經過有限次四則運算或函數的複合而得的所有函數。即基本初等函數經過有限次的四則運算或有限次的函數複合所構成並可以用一個解析式表出的函數，稱為初等函數。 ^[1] 

還有一系列雙曲函數也是初等函數，如sinh的名稱是雙曲正弦或超正弦，cosh是雙曲餘弦或超餘弦，tanh是雙曲正切，coth是雙曲餘切，sech是雙曲正割，csch是雙曲餘割。初等函數在其定義區間內一定連續。

一個初等函數，除了可以用初等解析式表示以外，往往還有其他表示形式。例如 ，三角函數 y=sinx 可以用無窮級數表為y=x-x³/3!+x⁵/5!-…初等函數是最先被研究的一類函數，它與人類的生產和生活密切相關，並且應用廣泛。為了方便，人們編制了各種函數表，如平方表、開方表、對數表、三角函數表等。 ^[2] 

實係數多項式稱為整有理函數。其中最簡單的是線性函數 y=α₀+α₁x，它的圖象是過y軸上y=α₀點的斜率為α₁的直線。二次整有理函數y=α₀+α₁x+α₂x²的圖象為拋物線。

兩個整有理函數之比為分式有理函數。分式有理函數其中最簡單的是反比例函數，其圖象為雙曲線。整有理函數和分式有理函數統稱有理函數。有理函數起源於代數學。

兩個復係數的多項式之比為有理函數，它實現擴充的複平面到自身的解析映射。分式線性函數是一個特殊的有理函數，它在複分析中有重要的意義。另一個特殊情形是冪函數w=zⁿ，n 是自然數，它在全平面是解析的。因此當n≥2時，它在全平面除z=0以外到處實現共形映射（保角映射）。它將圓周|z|= r變為圓周|w|=rn，將射線argz=θ變為射線argw=nθ。任何一個區域,只要該區域中任兩點的輻角差小於2π/n，它就是w=zⁿ的單葉性區域。冪函數w=zⁿ的反函數為根式函數，它有n個值(k=0，1，…，n-1)，稱為它的分支。它們在任何區域θ₁z<θ₁+2π中都單值解析。 ^[2] 

求有理函數的反函數則可產生代數函數。如y=xⁿ的反函數為x=yⁿ。 ^[2] 

超越函數指變量之間的關係不能用有限次加、減、乘、除、乘方、開方運算表示的函數。如指數函數、對數函數、反三角函數等就屬於超越函數。 ^[2] 

對定義域中的一切x對應的函數值都取某個固定常數的函數。 ^[2] 

三角函數是起源於幾何學的最簡單的超越函數。

初等三角函數包括正弦函數y=sinx 、餘弦函數y=cosx 、正切函數y=tanx、餘切函數y=cotx 、正割函數y=secx和餘割函數y=cscx。高等分析學中用弧度制計量角度，即以單位圓週上的弧段量度相應的圓心角。 ^[2] 

形如

的函數，式中a為不等於1的正常數。 ^[2] 

指數函數的反函數，記作

，式中a為不等於1的正常數，定義域是零到正無窮的開區間。指數函數與對數函數之間成立關係式，

。 ^[2] 

三角函數的反函數 ——反正弦函數y = arcsinx 、反餘弦函數 y=arccosx （－1≤x≤1，0≤y≤π）、反正切函數y=arctanx 、反餘切函數

等 ， 以上這些函數常統稱為基本初等函數。 ^[2] 

雙曲函數(4張)

由指數函數經有理運算可導出雙曲函數。其性質與三角函數很相似。sinhx、coshx分別稱為雙曲正弦和雙曲餘弦。像三角函數一樣，由它們導出的雙曲正切tanhx=sinhx/coshx和雙曲餘切cothx=coshx/sinhx等都稱為雙曲函數。

雙曲正弦或超正弦

雙曲餘弦或超餘弦

雙曲正切

雙曲餘切

雙曲正割

雙曲餘割

它們有如下的幾何解釋，即雙曲線x²-y²=1(x>0)上取一點M，又令O為原點，N=(1,0)，將ON，OM和雙曲線上的弧所圍面積記為θ/2，點M的座標視為θ的函數，並記為coshθ和sinhθ，即有表示式cosh²θ-sinh²θ=1。 ^[2] 

形如

的函數，式中a為實常數。

一般地，形如

（a為常數）的函數，即以底數為自變量，冪為因變量，指數為常量的函數稱為冪函數。例如函數y=x、y=x²、y=1/x（注：y=1/x=x^-1）等都是冪函數。 ^[2] 

例如將y=sinx和y=cosx中變量x換為復變量z，則得到復變三角函數w=sinz和w=cosz，它們是整函數。tanz=sinz/cosz，cotz=cosz/sinz等是z的亞純函數。它們具有實三角函數的很多類似性質：週期性、微商性質、三角恆等式等。但|sinz|≤1，|cosz|≤1不是對任何z都成立。三角函數與指數函數密切聯繫，因此應用時很方便。sinz的單葉性區域將Gk單葉並共形地映為全平面上除去實軸上線段[-1，1]和負虛軸後得到的區域；它將Rk單葉並共形地映為全平面除去實軸上兩條射線(

,-1]和[1,

)後得到的區域。類似地可以指出cosz的單葉性區域。 ^[3] 

在指數函數式w=e^x中將x換為復變量z，便得到復變指數函數w=e^z。復變指數函數有類似於實指數函數的性質：e^z是一整函數且對任何複數z，e^z≠0；它滿足e^z1·e^z2=e^z1+z2；e^z以2kπi為週期，e^z=e^z+2kπi；並且它的導數與本身相同，即 (e^z)'=e^z。函數w=e^z在全平面實現共形映射。任何一個區域，只要對區域內任兩點，其虛部之差小於2π，它就是e^z的單葉性區域。例如，指數函數把直線x=x₀變為圓周，把直線y=y₀變為射線argw=y₀，因而把區域Sk變為區域0w<2π，把寬度為β的帶形區域α₀<α₀+β(β≤2π)變為開度為β的角形域α₀w<α₀+β。 ^[3] 

對數函數w=lnz是指數函數w=e^z的反函數，它有無窮多個值2kπ（k 為整數），稱為它的分支。每一個分支在區域θ₀z<θ₀+ 2π 中是解析的。對數函數把這個區域單葉地變為帶形區域θ₀w<θ₀+2π，也把開度為β的角形域θ₀z<θ₀+β(β≤2π)變為寬度為β的帶形區域θ₀w<θ₀+β。 像實對數函數一樣，它滿足lnz₁+lnz₂=ln(z₁·z₂)。 ^[3] 

w=arcsinz，w=arccosz，w=arctanz分別是sinz，cosz和tanz的反函數，並稱復變反三角函數。它們能由對數函數合成。它們都是多值函數。 ^[3] 

將實雙曲函數推廣到複數域得復變雙曲函數。像實雙曲函數一樣，復變雙曲函數能由復變指數函數合成。 ^[3] 

將實冪函數的實變量用複數替換即得復變冪函數。一般來説，它是多值函數。 ^[3] 

初等函數錦集(16張)

一般初等函數的導數還是初等函數，但初等函數的不定積分不一定是初等函數。另外初等函數的反函數不一定是初等函數。 ^[3] 

1.由基本初等函數經有限次四則運算及有限次複合所得到的函數，稱為初等函數。 ^[4] 

2.由基本初等函數經有限次四則運算及有限次複合構成，並且是用一個解析式表達的函數，稱為初等函數。 ^[4] 

3.由基本初等函數經有限次四則運算及有限次複合構成，並且可以用一個解析式表達的函數，稱為初等函。 ^[4]