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(數學代數術語)

編輯 鎖定
冪(power)是指數運算的結果。當m為正整數時,nᵐ指該式意義為m個n相乘。當m為小數時,m可以寫成a/b(其中a、b為整數),nᵐ表示nᵃ再開b次根號。 [1]  當m為虛數時,則需要利用歐拉公式 e=cosθ+isinθ,再利用對數性質求解。 [2]  把nᵐ看作乘方的結果,叫做n的m次冪,也叫n的m次方。
中文名
外文名
power
適用領域
數學
概    念
一種數學運算
基本定義
n的m次冪表示m個n相乘
與開方的關係
為開方的逆運算

相關介紹

編輯
數學中的“冪”,是“冪”這個字面意思的引申,“冪”原指蓋東西的布巾,數學中“冪”是乘方的結果,而乘方的表示是通過在一個數字上加上標的形式來實現的,故這就像在一個數上“蓋上了一頭巾”,在現實中蓋頭巾又有升級的意思,所以把乘方叫做冪正好契合了數學中指數級數快速增長含義,形式上也很契合,所以叫做冪。
冪不符合結合律和交換律。
因為十的次方很容易計算,只需在後加零即可,所以科學記數法藉助此簡化記錄數的方式;二的次方在計算機科學中很有用。

定義

編輯
冪指乘方運算的結果。
相乘(
)。把
看作乘方的結果,叫做
次冪。
其中,n稱為底數,m稱為指數(寫成上標)。當不能用上標時,例如在編程語言或電子郵件中,通常寫成n^m或n**m,亦可以用高德納箭號表示法,寫成
,讀作“n的m次方”或者n的m次冪。
當指數為1時,通常不寫出來,因為那和底的數值一樣;指數為2、3時,可以讀作“n的平方”、“n的立方”。
的意義亦可視為
︰起始值1(乘法的單位元)乘底指數這麼多次。這樣定義了後,很易想到如何一般化指數0和負數的情況︰除了0之外所有數的零次方都是1,即
;冪的指數是負數時,等於
分數為指數的冪定義為
冪不符合結合律和交換律。

定理

編輯
同底數冪
積的冪:

大小比較法

編輯

計算比較法

先通過冪的計算,然後根據結果的大小,來進行比較的。

底數比較法

在指數相同的情況下,通過比較底數的大小,來確定兩個冪的大小。

指數比較法

在底數相同的情況下,通過比較指數的大小,來確定兩個冪的大小。

求差比較法

將兩個冪相減,根據其差與0的比較情況,來確定兩個冪的大小。

求商比較法

將兩個冪相除,然後通過商與1的大小關係,比較兩個冪的大小。

乘方比較法

將兩個冪乘方後化為同指數冪,通過進行比較結果,來確定兩個冪的大小。

定值比較法

通過選一個與兩個冪中一個冪相接近的冪作定值,然後用兩個冪與所選取的定值相比較,由此來確定兩個冪的大小。

編程實現

編輯

常規算法

/*循環法
輸入:底數(unsigned a)、指數(undigned b)
輸出:結果(unsigned)
*/
unsigned mi(unsigned a , unsigned b)
{
    unsigned result = 1 ;
    for (i = 1 ; i <= b ; i++)
        result *= a;
    return result;
}
/*迭代法
輸入:底數(unsigned a)、指數(unsigned b)
輸出:結果(unsigned)
*/
unsigned mi(unsigned a , unsigned b)
{
    if (!b)
        return 1;
    return a * mi(a , b - 1);
}

快速算法

因為
,所以可以使用迭代快速計算
/*快速計算的迭代法
輸入:底數(unsigned a)、指數(unsigned b)
輸出:結果(unsigned)*/
unsigned mi(unsigned a , unsigned b)
{
    if (!b)
        return 1;
    if (b & 1)
        return a * mi(a * a , b >> 1);
    return mi(a * a , b >> 1);
}
參考資料