正弦

古代説的“勾三股四弦五”中的“弦”，就是直角三角形中的斜邊，“勾”、“股”是直角三角形的兩條直角邊。

正弦是股與弦的比例，餘弦是餘下的那條直角邊與弦的比例。

正弦=股長/弦長

勾、股、弦放到圓裏。弦是圓周上兩點連線。最大的弦是直徑。把直角三角形的弦放在直徑上，股就是∠A所對的弦，即正弦，勾就是餘下的弦——餘弦。

按現代説法，正弦是直角三角形的對邊與斜邊之比。

現代正弦公式：

sin = 直角三角形的對邊/斜邊.

如圖1，斜邊為r，對邊為y，鄰邊為a。斜邊r與鄰邊a夾角Ar的正弦sinA=y/r

無論a，y，r為何值，正弦值恆大於等於0小於等於1，即0≤sin≤1。

三角函數是數學中屬於初等函數中的超越函數的一類函數。它們的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數是在平面直角座標系中定義的，其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中，但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到複數系。

由於三角函數的週期性，它並不具有單值函數意義上的反函數。

三角函數在複數中有較為重要的應用。在物理學中，三角函數也是常用的工具。

在RT△ABC中，如果鋭角A確定，那麼角A的對邊與鄰邊的比便隨之確定，這個比叫做角A的正切，記作tanA

即tanA=角A的對邊/角A的鄰邊

同樣，在RT△ABC中，如果鋭角A確定，那麼角A的對邊與斜邊的比便隨之確定，這個比叫做角A的正弦，記作sinA

即sinA=角A的對邊/角A的斜邊

同樣，在RT△ABC中，如果鋭角A確定，那麼角A的鄰邊與斜邊的比便隨之確定，這個比叫做角A的餘弦，記作cosA

即cosA=角A的鄰邊/角A的斜邊

一般地，在直角座標系中，給定單位圓，對任意角α，使角α的頂點與原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓交於點P（u，v），那麼點P的縱座標v叫作角α的正弦函數，記作v=sinα。通常，用x表示自變量，即x表示角的大小，用y表示函數值，這樣就定義了任意角的三角函數y=sin x，它的定義域為全體實數，值域為[-1,1]。

表達式：f(x)=Asin(ωx+φ)

sinα = tanα × cosα（即sinα / cosα = tanα）

cosα = cotα × sinα （即cosα / sinα = cotα）

tanα = sinα × secα (即 tanα / sinα = secα)

tanα × cotα = 1

sinα × cscα = 1

cosα × secα = 1

sinα / cosα = tanα = secα / cscα

sin ( α ± β ) = sinα · cosβ ± cosα · sinβ

sin ( α + β + γ ) = sinα · cosβ · cosγ + cosα · sinβ · cosγ + cosα · cosβ · sinγ - sinα · sinβ · sinγ

cos ( α ± β ) = cosα cosβ ∓ sinβ sinα

tan ( α ± β ) = ( tanα ± tanβ ) / ( 1 ∓ tanα tanβ )

sin ( 2α ) = 2sinα · cosα ^[1] 

sin ( 3α ) = 3sinα - 4sin³ ( α ) = 4sinα · sin ( 60 + α ) sin ( 60 - α )

由泰勒級數得出

sinx = [ e ^ ( ix ) - e ^ ( - ix ) ] / ( 2i )

級數展開

sin x = x - x3 / 3! + x5 / 5! - ... ( - 1 ) k - 1 * x 2 k - 1 / ( 2k - 1 ) ! + ... ( - ∞ < x < ∞ )

(sinx)' = cosx

(cosx)' = ﹣ sinx

關於橢圓的周長等於特定的正弦曲線在一個週期內的長度的證明：

半徑為r的圓柱上與一斜平面相交得到一橢圓，該斜平面與水平面的夾角為α，截取一個過橢圓短徑的圓。以該圓和橢圓的某一交點為起始轉過一個θ角。則橢圓上的點與圓上垂直對應的點的高度可以得到

r：圓柱半徑

α：橢圓所在面與水平面的角度

c：對應的弧長（從某一個交點起往某一個方向移動）

以上為證明簡要過程，則橢圓（x*cosα）^2+y^2=r^2的周長與f(c)=r tanα sin(c/r)的正弦曲線在一個週期內的長度是相等的，而一個週期T=2πr，正好為一個圓的周長。

正弦定理（The Law of Sines）是三角學中的一個基本定理，它指出“在任意一個平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等於外接圓的直徑”，即

（r為外接圓半徑，D為直徑）。

早在公元2世紀，正弦定理已想為古希臘天文學家托勒密(C．Ptolemy)所知。中世紀阿拉伯著名天文學家阿爾·比魯尼(al—Birunj，973一1048)也知道該定理。但是，最早清楚地表述並證明該定理的是13世紀阿拉伯數學家和天文學家納綏爾丁。在歐洲，猶太數學家熱爾松在其《正弦、弦與弧》中陳述了該定理：“在一切三角形中，一條邊與另一條邊之比等於其對角的正弦之比”，但他沒有給出清晰的證明。15世紀，德國數學家雷格蒙塔努斯在《論各種三角形》中給出了正弦定理，但簡化了納綏爾丁的證明。1571年，法國數學家韋達(F．Viete，1540一1603)在其《數學法則》中用新的方法證明了正弦定理。之後，德國數學家畢蒂克斯(B．Pitiscus，1561—1613)在其《三角學》中沿用韋達的方法來證明正弦定理 ^[2]  。

圖像中給出了用弧度度量的某個公共角。逆時針方向的度量是正角而順時針的度量是負角。設一個過原點的線，同x軸正半部分得到一個角θ，並與單位圓相交。這個交點的y座標等於sinθ。在這個圖形中的三角形確保了這個公式；半徑等於斜邊並有長度1，所以有了sinθ=y/1。單位圓可以被認為是通過改變鄰邊和對邊的長度並保持斜邊等於 1 查看無限數目的三角形的一種方式。

對於大於2π或小於−2π的角度，簡單的繼續繞單位圓旋轉。在這種方式下，正弦變成了週期為2π的週期函數：

對於任何角度θ和任何整數k。

由於正弦的導數是餘弦，餘弦的導數是負的正弦，因此正弦函數滿足微分方程：

這就是正弦的微分方程定義。

正弦函數﹑餘弦函數﹑正切函數﹑餘切函數﹑正割函數與餘割函數合稱為三角函數。

正弦函數的拉普拉斯變換為：

。 ^[3]