cosh

函數

是關於y軸對稱的偶函數。函數

是奇函數。

如同當

遍歷實數集時，點（

）的軌跡是一個圓 一樣，當t遍歷實數集

時，點（

）的軌跡是單位雙曲線的右半邊。這是因為有以下的恆等式：

參數t不是圓角而是雙曲角，它表示在x軸和連接原點和雙曲線上的點（的直線之間的面積的兩倍。

在18世紀，約翰·海因裏希·蘭伯特引入雙曲函數，並計算了雙曲幾何中雙曲三角形的面積。自然對數函數是在直角雙曲線下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線 y=x上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裏以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角u，在漸近線即x或y軸上需要有的x或y的值 ^[1]  。顯見這裏的底邊是

，垂線是

通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線

下雙曲角的 1/2。

雙曲角經常定義得如同虛數圓角。實際上，如果x是實數而i²= −1，則

所以雙曲函數cosh和sinh可以通過圓函數來定義。這些恆等式不是從圓或旋轉得來的，它們應當以無窮級數的方式來理解。特別是，可以將指數函數表達為由偶次項和奇次項組成，前者形成cosh函數，後者形成了sinh函數。cos函數的無窮級數可從cosh得出，通過把它變為交錯級數，而sin函數可來自將sinh變為交錯級數。上面的恆等式使用虛數i，從三角函數的級數的項中去掉交錯因子(−1)，來恢復為指數函數的那兩部分級數。

雙曲函數可以通過虛數圓角定義為：

這些複數形式的定義得出自歐拉公式。