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雙曲函數
鎖定
雙曲函數起源
雙曲函數概述17世紀數學家雅可比·伯努力提出：兩端繫於兩個固定點的均勻繩索，在僅受共自身重力的作用下形成的曲線是什麼曲線？他本人和伽裏略起初都誤認為是一條拋物線，但是，雅可比·伯努力及其他數學家隨後用微分方程推導出的曲線方程卻為 y=a/2(e x/a+e-x/a)並稱之為懸鏈線。其方程當a=1時為雙曲餘弦函數。 由懸鏈線方程我們看到它是由指數函數e^x和e-x表示出的。由於指數函數y=e^x具有的獨特性質,因此由e^x和e-x表示出的函數在高等數學和科學技術中具有廣泛的應用，其中一類就是雙曲函數。
[6]
雙曲函數定義
雙曲正弦：
雙曲餘弦：
雙曲正切：
雙曲餘切：
雙曲正割：
雙曲函數圖像(2張)
參數 t 是雙曲角,它表示由原點到雙曲線上的點的矢徑與 x 軸的夾角（弧度）,主值區間為 （-π/4,π/4）,其絕對值等於雙曲扇形面積 S(比單位面積 ab=a∧2=1∧2) 的兩倍。
函數 cosh x 是關於 y 軸對稱的偶函數。函數 sinh x 是奇函數，就是説 -sinh x = sinh (-x) 且 sinh 0 = 0。
雙曲函數函數性質
y=cosh x，定義域：R，值域：[1,+∞)，偶函數，函數圖像是懸鏈線，最低點是（0，1），在Ⅰ象限部分是嚴格單調遞增曲線，函數圖像關於y軸對稱。
y=tanh x，定義域：R，值域：(-1,1)，奇函數，函數圖像為過原點並且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的嚴格單調遞增曲線，其圖像被限制在兩水平漸近線y=1和y=-1之間。
y=coth x，定義域：{x|x≠0}，值域：{y||y|>1}，奇函數，函數圖像分為兩支，分別在Ⅰ、Ⅲ象限，函數在(-∞,0)和(0,+∞)分別單調遞減，垂直漸近線為y軸，兩水平漸近線為y=1和y=-1。
y=sech x，定義域：R，值域：(0,1]，偶函數，最高點是(0,1)，函數在(0,+∞)嚴格單調遞減，(-∞,0)嚴格單調遞增。x軸是其漸近線。
y=csch x，定義域：{x|x≠0}，值域：{y|y≠0}，奇函數，函數圖像分為兩支，分別在Ⅰ、Ⅲ象限，函數在(-∞,0)和(0,+∞)分別單調遞減，垂直漸近線為y軸，兩水平漸近線為x軸。
雙曲函數與三角函數關係
雙曲函數恆等式
雙曲函數加法公式
雙曲函數減法公式
雙曲函數二倍角公式
雙曲函數三倍角公式
雙曲函數半角公式
雙曲函數導數
雙曲函數不定積分
雙曲函數級數表示
其他級數可根據雙曲函數與三角函數的關係，用ix代替x（有些函數需要再乘以i或-i）即可。
雙曲函數實際應用
雙曲函數阻力落體
在空氣中由靜止開始下落的小石塊既受重力的作用又受到阻力的作用。設小石塊的質量為m，速度為v，重力加速度為g，所受空氣阻力假定與v2正比，阻尼係數為μ。設初始時刻小石塊靜止。求其小石塊運動速度與時間的關係。
[3]
解：
小石塊遵循的運動方程為
mdv/dt=mg―
（1）
這是Riccati方程，它可以精確求解。
依標準變換方式，設
v=（m/μ）/（z′/z） （2）
代入（1）式，再作化簡，有
z'' ―（gμ /m)z=0 （3）
（3）式的通解是
z=C1exp（√gμ /m t）+ C2exp（－√gμ /m t）（4）
其中，C1和C2是任意常數。
由於小石塊在初始時刻是靜止的，初始條件為
v（0）=0 （5）
這等價於
z′（0）=0 （6）
因此，容易定出
C2=C1 （7）
將（7）式代入（4）式，再將（4）式代入（2）式，就可得
滿足初始條件的解
v=√mg/μ tanh（√μg/m t) （8）
我們可以作一下定性的分析。小石塊初始時刻靜止。因此，隨着時間增加，開始時小石塊速度較小，小石塊所受的阻力影響較小，此時，小石塊與不受阻力的自由落體運動情況相類似，小石塊加速度幾乎是常數。起始段t和v的關係是直線。當小石塊速度很大時，重力相對於阻力來説可以忽略，阻力快速增加到很大的數值，導致小石塊的速度幾乎不再增加。此時，小石塊加速度接近零，v幾乎不隨時間而變化。一段時間後，v相不多是一平行於t軸的直線。
雙曲函數導線電容
解：設這兩條導線都帶電，單位長度的電荷量分別是為λ和―λ。
我們可以用電像法精確求解。電像法的思路是：
由於在靜電平衡情況時，導線是等勢體，因而我們可設想用偶極線來取代這兩條圓柱形帶電導線，適當地選擇偶極線的位置，使它們所產生的兩個等勢面恰好與原來兩導線的表面重合。這樣就滿足了邊界條件。這裏採用的偶極線是兩條無窮長的均勻帶電平行直線，它們單位長度的電荷量也分別為λ和―λ。這偶極線便是原來兩帶電導線的電像。於是就可以計算電勢，從而求出電容來。為此先求偶極線的等勢面。
以偶極線所在的平面為z-x平面，取笛卡兒座標系，使偶極線對稱地處在z軸的兩側，它們到z軸的距離都是a。這偶極線所產生的電勢便為
φ=φ1+φ2
=（λ/2πε0）In（r1′ / r1）+（―λ/2πε0）In（r2′ / r2）
=（λ/2πε0）In[（r2 / r1）（r1′/ r2′）] （1）
式中r1′和r2′分別是偶極線λ和―λ到某個電勢參考點的距離。為方便起見，我們取z軸上的電勢為零，這樣，r1′=r2′= a，於是，（1）式便化為
φ=（λ/2πε0）In（r2 / r1） （2）
由於對稱性，平行於z軸的任何一條直線都是偶極線的等勢線。所以，我們只須考慮z-y平面內任意一點P（z，y）的電勢即可。於是
φ=（λ/4πε0）In{[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2] } （3）
故偶極線的等勢面方程便為
[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2]=k2 （4）
式中k2 =e4πε0φ/λ （5）
令c=[（k2+1）/（k2―1）]a （6）
則（4）式可化為
（x―c）2+y2=[4k2/（k2―1）2]a 2 （7）
這表明，偶極線的等勢面都是軸線平行於z軸的圓柱面，它們的軸線都在z軸上z=c處，其橫截面的半徑為
R=∣2k/（k2―1） ∣a （8）
這個結果啓示，我們可以找到偶極線的兩個等勢面，使它們分別與原來兩導線的表面重合。這隻要下列等式成立就可以了：
a1= ∣c1∣=[（k12+1）/（k12―1）]a （9）
R1=∣2k1/（k12―1） ∣a （10）
a2= ∣c2∣=[（k22+1）/（k22―1）]a （11）
R2=∣2k2/（k22―1） ∣a （12）
d=a1+a2 （13）
由（9）至（13）式得
a12―R12=a2= a22―R22 （14）
原來兩導線表面的方程是
R1：（x―a1）2+y2= R12 （15）
R2：（x+a2）2+y2= R22 （16）
利用（14）式，可以把（15）和（16）式分別化為
x2+y2+ a2= 2a1 x （17）
x2+y2+ a2= ―2a2 x （18）
利用（17）和（18）兩式，由⒅式得出，半徑為R1和R2的兩導線的電勢分別為
φ1=（λ/4πε0）In[（a1+a）/ （a1―a）] （19）
φ2=―（λ/4πε0）In[（a2+a）/ （a2―a）] （20）
於是兩導線的電勢差便為
U=φ1+φ2=（λ/2πε0）In[（a1+a）（a2―a）/ R1R2] （21）
用已知的量消去未知數，可以得出
U=（λ/2πε0）In[（d2―R12―R2）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R2）/ 2R1R2]2―1] （22）
最後得出原來兩導線為l一段的電容為
C=Q/U=2πε0l/ In[（d2―R12―R22）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R22）/ 2R1R2]2―1] （23）
單位長度的電容為
c=2πε0/ In[（d2 ― R12 ―R22） / 2R1R2+√ [（d2―R12―R22） / 2R1R2 ] 2―1] （24）
利用反兩曲餘弦關係式
archx= In[（x+√x2―1）] （25）
對本題的精確解表示作簡潔表示
c=2πε0/ arch[（d2―R12―R22）/ 2R1R2] （26）
最後一式可以在一般手冊上查到。
雙曲函數粒子運動
x=（W0/qE）[cosh（qEy/p0c）―1] （1）
式中p0是粒子出發時動量的值，W0是它出發時的能量。
解：
帶有電荷量q的粒子在電磁場E和B中的相對論性的運動方程為
dp/dt=q（E+v×B） （2）
式中v是粒子的速度，p是粒子的動量
p=mv=mv0/√1－v2/c2 （3）
本題運動方程的分量表示式為
dpx=qE
dpy=0
dpz=0 （4）
解之，有
px =qEt+C1
py = C2
pz = C3 （5）
代入t=0時初始條件
px（0）=0
py（0）= p0
pz（0）= 0 （6）
定出積分常數後，可知
px=qEt
py= p0
pz= 0 （7）
粒子的能量為
W=mc2
=√p2c2+m02c4
=√（px2+ py2+ pz2）c2+m02c4
=√q2E2 c2t2+W02 （8）
因dx/dt=qEt/m=qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 （9）
積分得
x=∫[qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 ]dt
= [√q2E2 c2t2+W02 －W02]/qE （10）
又由（7）式得
dy/dt=p0/m=p0c2/√q2E2 c2t2+W02 （11）
積分得
y=∫[p0c2 /√q2E2 c2t2+W02 ]dt
=（p0c /qE）arsh（qEct/W0） （12）
或 （qEct/W0）= sinh （qEy/ p0c） （13）
在（51）式和（54）式中消去t，有
x=（W0/qE）[√1+ sinh2（qEy/ p0c）－1 ] （14）
利用恆等變換公式
cosh2x―sinh2x=1 （15）
（55）式可以寫成
x=（W0/qE）[cosh2（qEy/ p0c）－1 ] （16）
（16）式是一種懸鏈線。
討論：
因雙曲餘弦泰勒級數展開式是
cosh（x）=1+x2/2!+x4/4!+x6/6!+…… （17）
當v/c →0時，保留前2項，得
x=（qE/2m v02）y2 （18）
（18）式是拋物線軌跡。《普通物理學》教材用經典牛頓力學求解，普遍會給有這個結果。這表示，非相對論確是相對論在v/c →0時的極限。或者説，（18）式成立的條件是v/c<<1，這也是牛頓力學的適用範圍。
雙曲函數非線性方程
ux+uux+βuxxx=0 （1）
它是非線性的頻散方程，其中β是頻散係數。用雙曲函數展開法求其某些特殊精確解。
解：
考慮其行波解
u（x，t）=φ（ξ） （2）
其中，
ξ=kx－ωt+ξ0 （3）
KdV方程成為
－ωφξ+kφφξ+k3βφξξξ=0 （4）
記
f=1/（coshξ+r）,g=sinhξ/（coshξ+r） （5）
嘗試
φ=a0+a1f+a2g （6）
注意存在關係式
df/dξ=－fg
dg/dξ=1－g2－rg
g2=1－2rf+（r2－1）f2 （7）
將（7）式代入（5）式，並在（6）式的幫助下使所得方程中各項只含有f和g的冪次項，且g的冪次項不大於1。合併f和g的同次冪項並取其係數為零，就得到方程（4）對應的非線性代數方程組
－6βk3b1（r2－1）2=0
－6βk3a1（r2－1）=0
－2kb1（r2－1）（－6βk2r+ a1）=0
－k（－6βk2r a1+ a12－b12+ b12r2）=0
b1（4βk3+ka0－ka0r2+3ka1 r－7βk3 r2+ cr2－c）=0
ωa1+kb12 r－βk3 a1－ka0a1=0
－b1（ka1+ωr－βk3r－ka0r）=0 （8）
φ=（ω－βk3）/k+6βk2/（coshξ+1）=0 （9）
其中，k、ω、ξ0為任意常數。
（9）式是孤波解。
從以上的討論中可知，無論是在經典或近代的物理學內容中，還是在正在發展中的物理學內容中，雙曲函數起着不可或缺的重要作用。
雙曲函數懸鏈線
形如y=a cosh(x/a)(a為常數）的函數的圖象又叫懸鏈線，可以由柔軟的繩子得到，有點象拋物線，但其實兩者差距很大.據説萊布尼茲（Leibniz）於1690年最先解出懸鏈線方程，惠更斯（Huygens）和伯努利兄弟（Jacob Bernoulli,Johann Bernoulli）隨其後.惠更斯在1691年把懸鏈線命名為catenary. 懸鏈線與拋物線有這樣的關係：懸鏈線是直線上滾動的拋物線的焦點的運動軌跡.懸鏈線的頂點的漸開線是曳物線（tractrix).這條曳物線的漸進線稱為懸鏈線的準線，懸鏈線繞準線旋轉形成的曲面叫做懸鏈面。
[3]
雙曲函數數學證明
受力分析有： Tsinθ=mg Tcosθ=H tanθ=dy/dx=mg/H mg=ρs
其中s是右段AB繩子的長度，ρ是繩子線重量密度，代入得微分方程dy/dx=ρs/H
利用弧長公式ds=√（1+dy^2/dx^2）*dx；所以s=∫√（1+dy^2/dx^2）*dx
所以把s帶入微分方程得dy/dx=ρ∫√（1+dy^2/dx^2）*dx/H;....（1）
對於（1）設p=dy/dx微分處理 得 p'=ρ/H*√（1+p^2）......（2）
p'=dp/dx 對（2）分離常量求積分 ∫dp/√（1+p^2）=∫ρ/H*dx 得ln[p+√（1+p^2）]=ρx/H+C，即asinhp（反雙曲正弦）=ρx/H+C
當x=0時，dy/dx=p=0帶入得C=0
整理得asinhp=ρx/H
另詳解：（ln[p+√（1+p^2）]=ρx/H）
p=sh（ρx/H) （1+p^2=e^（2ρx/H)-2pe^（ρx/H)+p^2）
（p=[e^（ρx/H)-e^(-ρx/H)]/2=dy/dx）
y=ch （ρx/H)* H / ρ （y=H/（2ρ）*[e^（ρx/H)+e^(-ρx/H)]）
令a=H/ρ：y=a*cosh (x/a) （y=a[e^(x/a)+e^(-x/a)]/⑵= a*cosh(x/a））。
