伯努利

在科學史上，父子科學家、兄弟科學家並不鮮見，然而，在一個家族跨世紀的幾代人中，眾多父子兄弟都是科學家的較為罕見，其中，瑞士的伯努利（也譯作貝努力）家族最為突出。

伯努利家族3代人中產生了8位科學家，出類拔萃的至少有3位；而在他們一代又一代的眾多子孫中，至少有一半相繼成為傑出人物。伯努利家族的後裔有不少於120位被人們系統地追溯過，他們在數學、科學、技術、工程乃至法律、管理、文學、藝術等方面享有名望，有的甚至聲名顯赫。最不可思議的是這個家族中有兩代人，他們中的大多數數學家，並非有意選擇數學為職業，然而卻忘情地沉溺於數學之中，有人調侃他們就像酒鬼碰到了烈酒。

老尼古拉·伯努利（Nicolaus Bernoulli，公元1623～1708年）生於巴塞爾，受過良好教育，曾在當地政府和司法部門任高級職務。他有3個有成就的兒子。其中長子雅各布（Jocob，公元1654～1705年）和第三個兒子約翰（Johann，公元1667～1748年）成為著名的數學家，第二個兒子小尼古拉（Nicolaus I，公元1662～1716年）在成為彼得堡科學院數學界的一員之前，是伯爾尼的第一個法律學教授。

雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）於1654年12月27日，生於瑞士巴塞爾，畢業於巴塞爾大學，1671年17歲時獲藝術碩士學位。這裏的藝術指“自由藝術”，包括算術、幾何學、天文學、數理音樂和文法、修辭、雄辯術共7大門類。遵照父親的願望，他於1676年22歲時又取得了神學碩士學位。然而，他也違背父親的意願，自學了數學和天文學。1676年，他到日內瓦做家庭教師。從1677年起，他開始在那裏寫內容豐富的《沉思錄》。

1678年和1681年，雅各布·伯努利兩次外出旅行學習，到過法國、荷蘭、英國和德國，接觸和交往了許德、玻意耳、胡克、惠更斯等科學家，寫有關於彗星理論（1682年）、重力理論（1683年）方面的科技文章。1687年，雅各布在《教師學報》上發表數學論文《用兩相互垂直的直線將三角形的面積四等分的方法》，同年成為巴塞爾大學的數學教授，直至1705年8月16日逝世。

1699年，雅各布當選為巴黎科學院外籍院士；1701年被柏林科學協會（後為柏林科學院）接納為會員。

許多數學成果與雅各布的名字相聯繫。例如懸鏈線問題（1690年），曲率半徑公式（1694年），“伯努利雙紐線”（1694年），“伯努利微分方程”（1695年），“等周問題”（1700年）等。

雅各布對數學最重大的貢獻是在概率論研究方面。他從1685年起發表關於賭博遊戲中輸贏次數問題的論文，後來寫成鉅著《猜度術》，這本書在他死後8年，即1713年才得以出版。

最為人們津津樂道的軼事之一，是雅各布醉心於研究對數螺線，這項研究從1691年就開始了。他發現，對數螺線經過各種變換後仍然是對數螺線，如它的漸屈線和漸伸線是對數螺線，自極點至切線的垂足的軌跡，以極點為發光點經對數螺線反射後得到的反射線，以及與所有這些反射線相切的曲線（回光線）都是對數螺線。他驚歎這種曲線的神奇，竟在遺囑裏要求後人將對數螺線刻在自己的墓碑上，並附以頌詞“縱然變化，依然故我”，用以象徵死後永生不朽。

約翰·伯努利（Johann Bernoulli ）是雅各布·伯努利的弟弟，他比哥哥小13歲，1667年8月6日生於瑞士巴塞爾，1748年1月1日卒於巴塞爾，享年81歲，而哥哥只活了51歲。

約翰於1685年18歲時獲巴塞爾大學藝術碩士學位，這點同他的哥哥雅各布一樣。他們的父親老尼古拉要大兒子雅各布學法律，要小兒子約翰去學經商。但約翰在雅各布的帶領下進行反抗，去學習醫學和古典文學。約翰於1690年獲醫學碩士學位，1694年又獲得博士學位。但他發現他骨子裏的興趣是數學。他一直向雅各布學習數學，並頗有造詣。1695年，28歲的約翰取得了他的第一個學術職位——荷蘭格羅寧根大學數學教授。10年後的1705年，約翰接替去世的雅各布任巴塞爾大學數學教授。同他的哥哥一樣，他也當選為巴黎科學院外籍院士和柏林科學協會會員。1712、1724和1725年，他還分別當選為英國皇家學會、意大利波倫亞科學院和彼得堡科學院的外籍院士。

約翰的數學成果比雅各布還要多。例如解決懸鏈線問題（1691年），提出洛必達法則（1694年）、最速降線（1696年）和測地線問題（1697年），給出求積分的變量替換法（1699年），研究弦振動問題（1727年），出版《積分學教程》（1742年）等。

約翰與他同時代的110位學者有通信聯繫，進行學術討論的信件約有2500封，其中許多已成為珍貴的科學史文獻，例如同他的哥哥雅各布以及萊布尼茨、惠更斯等人關於懸鏈線、最速降線（即旋輪線）和等周問題的通信討論，雖然相互爭論不斷，特別是約翰和雅各布互相指責過於尖刻，使兄弟之間時常造成不快，但爭論無疑會促進科學的發展，最速降線問題就導致了變分法的誕生。

約翰的另一大功績是培養了一大批出色的數學家，其中包括18世紀最著名的數學家歐拉、瑞士數學家克萊姆、法國數學家洛必達，以及他自己的兒子丹尼爾和侄子尼古拉二世等。

丹尼爾·伯努利(Daniel Bernoulli)，瑞士物理學家、數學家、醫學家。1700年2月8日生於荷蘭格羅寧根。著名的伯努利家族中最傑出的一位。他是約翰·伯努利的次子，和他的父輩一樣，違背家長要他經商的願望，堅持學醫，他曾在海得爾貝格、斯脱思堡和巴塞爾等大學學習哲學、倫理學、醫學。1721年取得醫學碩士學位。伯努利在25歲時(1725)就應聘為聖彼得堡科學院的數學院士。8年後回到瑞士的巴塞爾，先任解剖學教授，後任動力學教授，1750年成為物理學教授。

在1725～1749年間，伯努利曾十次榮獲法國科學院的年度獎。

1782年3月17日，伯努利在瑞士巴塞爾逝世，終年82歲。

約翰·伯努利想迫使他的第二個兒子丹尼爾去經商，但丹尼爾在不由自主地陷進數學之前，曾寧可選擇醫學成為醫生。

丹尼爾(Daniel，公元1700～1782年)出生於荷蘭的格羅寧根，1716年16歲時獲藝術碩士學位；1721年又獲醫學博士學位。他曾申請解剖學和植物學教授職位，但未成功。

丹尼爾受父兄影響，一直很喜歡數學。1724年，他在威尼斯旅途中發表《數學練習》，引起學術界關注，並被邀請到聖彼得堡科學院工作。同年，他還用變量分離法解決了微分方程中的裏卡提方程。1725年，25歲的丹尼爾受聘為聖彼得堡的數學教授。1727年，20歲的歐拉(後人將他與阿基米德、艾薩克·牛頓、高斯並列為數學史上的“四傑”)，到聖彼得堡成為丹尼爾的助手。

然而，丹尼爾認為聖彼得堡那地方的生活比較粗鄙，以至於8年以後的1733年，他找到機會返回巴塞爾，終於在那兒成為解剖學和植物學教授，最後又成為物理學教授。

1734年，丹尼爾榮獲巴黎科學院獎金，以後又10次獲得該獎金。能與丹尼爾媲美的只有大數學家歐拉。丹尼爾和歐拉保持了近40年的學術通信，在科學史上留下一段佳話。

在伯努利家族中，丹尼爾是涉及科學領域較多的人。他出版了經典著作《流體動力學》(1738年)；研究彈性弦的橫向振動問題(1741～1743年)，提出聲音在空氣中的傳播規律(1762年)。他的論著還涉及天文學(1734年)、地球引力(1728年)、湖汐(1740年)、磁學(1743、1746年)，振動理論(1747年)、船體航行的穩定(1753、1757年)和生理學(1721、1728年)等。丹尼爾的博學成為伯努利家族的代表。

丹尼爾於1747年當選為柏林科學院院士，1748年當選巴黎科學院院士，1750年當選英國皇家學會會員。他一生獲得過多項榮譽稱號。

1．在物理學上的貢獻有：

(1)1738年出版了《流體動力學》一書，共13章。這是他最重要的著作。書中用能量守恆定律解決流體的流動問題，寫出了流體動力學的基本方程，後人稱之為“伯努利方程”，提出了“流速增加、壓強降低”的伯努利原理。

(2)他還提出把氣壓看成氣體分子對容器壁表面撞擊而生的效應，建立了分子運動理論和熱學的基本概念，並指出了壓強和分子運動隨温度增高而加強的事實。

(3)從1728年起，他和歐拉還共同研究柔韌而有彈性的鏈和梁的力學問題，包括這些物體的平衡曲線，還研究了弦和空氣柱的振動。

(4)他曾因天文測量、地球引力、潮汐、磁學、洋流、船體航行的穩定、土星和木星的不規則運動和振動理論等成果而獲獎。

2．在數學方面，有關微積分、微分方程和概率論等，他也做了大量而重要的工作。

在一個流體系統，比如氣流、水流中，流速越快，流體產生的壓力就越小，這就是被稱為“流體力學之父”的丹尼爾·伯努利1738年發現的“伯努利定律”。這個壓力產生的力量是巨大的，空氣能夠托起沉重的飛機，就是利用了伯努利定律。飛機機翼的上表面是流暢的曲面，下表面則是平面。這樣，機翼上表面的氣流速度就大於下表面的氣流速度，所以機翼下方氣流產生的壓力就大於上方氣流的壓力，飛機就被這巨大的壓力差“托住”了。當然了，這個壓力到底有多大，一個高深的流體力學公式“伯努利方程”會去計算它。

v=流動速度

g=地心加速度(地球)

h=流體處於的高度(從某參考點計)

p=流體所受的壓強

ρ=流體的密度

伯努利理想正壓流體在有勢徹體力作用下作定常運動時，運動方程（即歐拉方程）沿流線積分而得到的表達運動流體機械能守恆的方程。因著名的瑞士科學家D.伯努利於1738年提出而得名。對於重力場中的不可壓縮均質流體 ，方程為p+ρgz+(1/2)*ρv^2=C　式中p、ρ、v分別為流體的壓強、密度和速度；z 為鉛垂高度；g為重力加速度。

上式各項分別表示單位體積流體的壓力能 p、重力勢能ρg z和動能(1/2)*ρv ^2，在沿流線運動過程中，總和保持不變，即總能量守恆。但各流線之間總能量（即上式中的常量值）可能不同。對於氣體，可忽略重力，方程簡化為p+(1/2)*ρv ^2=常量(p0)，各項分別稱為靜壓 、動壓和總壓。顯然 ，流動中速度增大，壓強就減小；速度減小， 壓強就增大；速度降為零，壓強就達到最大(理論上應等於總壓)。飛機機翼產生舉力，就在於下翼面速度低而壓強大，上翼面速度高而壓強小 ，因而合力向上。 據此方程，測量流體的總壓、靜壓即可求得速度，成為皮托管測速的原理。在無旋流動中，也可利用無旋條件積分歐拉方程而得到相同的結果但涵義不同，此時公式中的常量在全流場不變，表示各流線上流體有相同的總能量，方程適用於全流場任意兩點之間。在粘性流動中，粘性摩擦力消耗機械能而產生熱，機械能不守恆，推廣使用伯努利方程時，應加進機械能損失項。

1726年，伯努利通過無數次實驗，發現了“邊界層表面效應”：流體速度加快時,物體與流體接觸的界面上的壓力會減小，反之壓力會增加。為紀念這位科學家的貢獻，這一發現被稱為“伯努利效應”。伯努利效應適用於包括氣體在內的一切流體,是流體作穩定流動時的基本現象之一，反映出流體的壓強與流速的關係，流速與壓強的關係：流體的流速越大，壓強越小；流體的流速越小，壓強越大。

比如，管道內有一穩定流動的流體，在管道不同截面處的豎直開口細管內的液柱的高度不同，表明在穩定流動中，流速大的地方壓強小，流速小的地方壓強大。這一現象稱為“伯努利效應”。伯努利方程：p+1/2pv^2=常量。

在列車站台上都劃有安全線。這是由於列車高速駛來時，靠近列車車廂的空氣將被帶動而運動起來，壓強就減小，站台上的旅客若離列車過近，旅客身體前後出現明顯壓強差，將使旅客被吸向列車而受傷害。

伯努利效應的應用舉例：飛機機翼、 噴霧器、汽油發動機的汽化器、球類比賽中的旋轉球。

伯努利數是18世紀瑞士數學家雅各布·伯努利引入的一個數。設伯努利數為B(n),它的定義為: t/(e^t-1)=∑[B(n)*(t^n)/(n!)](n:0->∞) 這裏|t|<2。由計算得B(0)=1,B(1)=-1/2,B(2)=1/6,B(3)=0,B(4)=-1/30,B(5)=0,B(6)=1/42,B(7)=0, B(8)=-1/30,B(9)=0),B(10)=5/66,B(11)=0,B(12)=-691/2730,B(13)=0,B(14)=7/6,B(15)=0,B(16)=-3617/510,B(17)=0, B(18)=43867/798,B(19)=0, B(20)=-174611/330 …… 　一般地,n>=1時,有B(2n+1)=0;n>=2時,有公式B(n)=∑[C(k,n)*B(k)](k:0->n)可用來逐一計算伯努利數。伯努利數在數論中很有用。例如，對於佩爾方程-=-4（≡1(mod4)是素數），N.C.安克尼和E.阿廷曾猜想它的最小解x0+(y0)*√(p)滿足 ,1960年，L.J.莫德爾證明了在≡5(mod8)時,S.喬拉證明了在≡1(mod8)時，上述猜想等價於伯努利數B((p-1)/2)的分子不被整除。伯努利數還可用於費馬大定理的論證中。設>3，如果伯努利數B,B,…,B(p-3)的每一個的分子不被整除，這樣的素數叫正規素數，否則就叫非正規素數。德國數學家E.E.庫默爾證明了:當為正規素數時,費馬大定理成立。不難計算當3<<100時，除開=37,59,67以外,其餘的素數都是正規素數。因此,在費馬大定理的研究中，庫默爾的結果是一項突破性的工作(見不定方程)。儘管有許多判別正規素數的法則，但是，是否有無窮多個正規素數，尚未解決。而非正規素數有無窮多個，早在1915年就被人們所證明。

著名的伯努利家族曾產生許多傳奇和軼事。對於這樣一個既有科學天賦然而又語言粗暴的家族來説，這似乎是很自然的事情。一個關於丹尼爾的傳説是這樣的：有一次在旅途中，年輕的丹尼爾同一個風趣的陌生人閒談，他謙虛地自我介紹説：“我是丹尼爾·伯努利。”陌生人立即帶着譏諷的神情回答道：“那我就是艾薩克·牛頓！”