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雙曲正弦函數
鎖定
雙曲正弦函數是雙曲函數的一種。雙曲正弦函數在數學語言上一般記作sinh，也可簡寫成sh。與三角函數一樣，雙曲函數也分為雙曲正弦、雙曲餘弦、雙曲正切、雙曲餘切、雙曲正割、雙曲餘割6種，雙曲正弦函數和雙曲餘弦函數是雙曲函數中最基本的兩種，由這兩個函數可推導出雙曲正切函數等等。
雙曲正弦函數的定義式為：
sinhx=[e^x-e^(-x)]/2
- 中文名
- 雙曲正弦函數
- 外文名
- Hyperbolic sine function
- 適用領域
- 數學、工程計算問題
- 應用學科
- 數學
- 數學表示
- sinh
- 基本概念
- 雙曲函數中的一種
雙曲正弦函數簡介
雙曲正弦函數定義域和值域
雙曲正弦函數奇偶性
雙曲正弦函數是奇函數，它的圖形通過原點且關於原點對稱
[2]
。
證明如下：
而
根據奇函數的定義，可得出上述結論。
雙曲正弦函數單調性
雙曲正弦函數在區間
內它是單調增加的。證明如下：
查雙曲函數的導數公式，得到：
雙曲正弦函數週期性
無論是雙曲正弦函數y=sinhx，還是雙曲正切函數y=tanhx、雙曲餘弦函數y=coshx，它們都不是週期函數。
雙曲正弦函數凹凸性
證明：根據函數凹凸性的判定定理：設f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內具有一階和二階導數，那麼：
（1）若在（a,b）內，
，則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的
（2）若在（a,b）內，
，則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的
可見，雙曲正弦函數的二階導數仍然是雙曲正弦函數（它本身），而根據雙曲正弦函數的單調性，且sinh0=0。可知當x>0時，sinhx的二階導數大於0。x<0時，sinhx的二階導數小於0，則可得出上述結論。
雙曲正弦函數導數
雙曲正弦函數不定積分
雙曲正弦函數泰勒展開式
雙曲正弦函數反函數
雙曲正弦的反函數——反雙曲正弦函數的圖像
函數y=arsinhx的定義域為
，它是奇函數，在區間
內單調增加。
