凹函數

如果定義在某一區間上的一元實函數是連續函數，且對這一區間中的任何兩點X₁、X₂，當X₁<X₂時，有不等式

其中q₁、q₂為正數，q₁+q₂=1，這時，我們把函數f(x)叫做凹函數。 ^[2] 

如果y=f(x)是(嚴格)凹函數，那麼它的圖象是(嚴格)凹曲線，或叫做(嚴格)下凸曲線。

凹函數的概念是詹森(J.L.w.v.Jermen，1859～1925)引入的，他所採取的定義條件是

相當於上述定義中

的特殊情況形。這種定義對於連續函數來説是等價的。

如果f(x)是凹函數，那麼-f(x)即是凸函數，通常都是把凹函數轉化為凸函數來研究。

如果一元實函數f(x)在某區間二階可導，那麼這一函數為凹函數的充要條件是在這一區間上恆有f''(x)小於等於0(對於嚴格凹函數，只要改成f''(x)<0就可以了)。 ^[1] 

在數學當中，凹函數是凸函數的相反。與凸函數（上凸）對比，這裏的凹函數（上凸）應有：如果其二階導數在區間上恆大於0，就稱為凹函數。 ^[3] 

如果一個可微函數f它的導數f'在某區間是單調上升的，也就是二階導數若存在，則在此區間，二階導數是大於零的，f就是凹的；即一個凹函數擁有一個下跌的斜率（當中下跌只是代表非上升而不是嚴謹的下跌，也代表這容許零斜率的存在。）

如果一個二次可微的函數f，它的二階導數f'(x)是正值（或者説它有一個正值的加速度），那麼它的圖像是凹的；如果二階導數f'(x)是負值，圖像就會是凸的。當中如果某點轉變了圖像的凹凸性，這就是一個拐點。

如果凹函數（也就是向上開口的）有一個“底”，在底的任意點就是它的極小值。如果凸函數有一個“頂點”，那麼那個頂點就是函數的極大值。

如果f(x)是二次可微的，那麼f(x)就是凹的當且僅當f''(x)是正值。

設函數f(x)在定義域內連續可導且滿足f''(x)>0；設x₁<x₂,0<a<1、證明：f[ax₁+(1-a)x₂]<af(x₁)+(1-a)f(x₂)；（即利用凸函數的充要條件來證明其定義。）

因ax₁+(1-a)x₂-x₁=(1-a)(x₂-x₁)>0；

則x₁<ax₁+(1-a)x_2；

根據拉格朗日中值定理。

必存在x₁<μ< ax₁+(1-a)x_2；

使f[ax₁+(1-a)x₂]-f(x₁)= (1-a)(x₂-x₁)f'(μ)；

同理。

存在ax₁+(1-a)x₂<ξ<x_2；

使f(x₂)- f[ax₁+(1-a)x₂]= a(x₂-x₁)f'(ξ)；

故a{f[ax₁+(1-a)x₂]-f(x₁)}- (1-a){f(x₂)- f[ax₁+(1-a)x₂]}=a (1-a)(x₂-x₁)[f’(μ)- f’(ξ)]；

根據拉格朗日中值定理。

有μ<δ<ξ；

f'(μ)- f'(ξ)=(μ-ξ)f''(δ)；

因f''(x)>0；

則f'(μ)- f'(ξ)<0；

則a{f[ax₁+(1-a)x₂]-f(x₁)}- (1-a){f(x₂)- f[ax₁+(1-a)x₂]}<0；

整理後得f[ax₁+(1-a)x₂]<af(x₁)+(1-a)f(x₂)；

同理，若f''(x)≤0，則結果相反 。

即若f''(x)≤0，則f[ax₁+(1-a)x₂]≥af(x₁)+(1-a)f(x₂)；滿足凸函數的定義。

證明完畢。