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自然對數
鎖定
自然對數歷史
在1614年開始有對數概念，約翰·納皮爾以及Jost Bürgi（英語：Jost Bürgi）在6年後，分別發表了獨立編制的對數表，當時通過對接近1的底數的大量乘冪運算，來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數，當時還沒出現有理數冪的概念。1742年William Jones（英語：William Jones (mathematician)）才發表了冪指數概念。按後來人的觀點，Jost Bürgi的底數1.0001相當接近自然對數的底數e，而約翰·納皮爾的底數0.99999999相當接近1/e。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，約翰·納皮爾用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，Henry Briggs（英語：Henry Briggs (mathematician)）建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法於1624年部份完成了常用對數表的編制。
1649年，Alphonse Antonio de Sarasa（英語：Alphonse Antonio de Sarasa）將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年，伊薩克·牛頓推廣了二項式定理，他將
展開並逐項積分，得到了自然對數的無窮級數。“自然對數”最早描述見於尼古拉斯·麥卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中，他也獨立發現了同樣的級數，即自然對數的麥卡托級數。大約1730年，歐拉定義互為逆函數的指數函數和自然對數。
自然對數最早是怎麼來的來説明其有多“自然”。以前人們做乘法就用乘法，很麻煩，發明了對數這個工具後，乘法可以化成加法，即：
。
當然後來數學家對這個數做了無數研究，發現其各種神奇之處，在對數表中出現並非偶然，而是相當自然或必然的。因此就叫它自然對數底了。
自然對數概念
自然對數函數類型
自然對數對數函數
自然對數反函數
歷史上自然對數y=lnx的產生要比e要早些，當時人們對於微分和不定積分的求法已經熟知，並且很早就得到了冪函數
的不定積分表達式
。但對於n=-1的情況，因n=-1代入冪函數的不定積分表達式中將使分母為0，所以
該如何求原函數，或者説
到底該如何積分，數學家們採用了多種方法均無法得到滿意的回答。
例如採用分部積分法，
兩邊減掉
，將得到0=1的結論。
於是數學家們想到了利用積分變限函數來給出
的原函數，即定義一個新的函數
根據這個定義立刻可以知道
。並且根據可導必連續的性質，lnx在(0,+∞)上處處連續、可導。其導數為(1/x)>0，所以在(0,+∞)單調增加。又根據反常積分
和
分別發散至
可知，函數的值域為R。雖然這與現代對數函數的運算法則和性質相符，但當時人們並沒有意識到這就是對數函數，並且以e為底。
接下來人們便開始考慮y=lnx的反函數的問題。設y=lnx的反函數為x=f(y)，由反函數的求導法則可知，
如果用x來表示自變量，y來表示因變量，那麼自然對數的反函數y=f(x)滿足一個非常重要的性質：
即這個函數求導後仍得到它本身，並且當x=0時，y=1，這個函數寫作
。
由反函數的性質可知y=exp(x)是定義在R上的單調遞增並且處處連續、可微的函數，其值域為(0,+∞)。由於exp(x)求導後得到它自身並且exp(0)=1，便可不斷地重複該步驟，通過冪級數的知識可知exp(x)能在R上展開成麥克勞林級數：
那為什麼後來人們會發現
呢？這是因為當人們在求指數函數y=ax的導數時，採用了這樣的方法：
所以：
由於
與
求導以後都得到
，根據原函數的性質，
，C為積分常數。將x=0代入等式兩端，有1=1+C，C=0，即證明了
。
數學家們才恍然大悟，原來
與
有着千絲萬縷的聯繫，並且知道了
是對數函數的一種，其底為e。又利用
，得到了
令x=1，則又得到了一個關於e的定義式：
當然，根據
，也可以將e定義為使
的x的取值。
自然對數e與π的哲學意義
數學講求規律和美學，可是圓周率π和自然對數e那樣基本的常量卻那麼混亂，就如同兩個“數學幽靈”。人們找不到π和e的數字變化的規律，可能的原因：例如：人們用的是十進制，古人掰指頭數數，因為是十根指頭，所以定下了十進制，而二進制才是宇宙最樸素的進制，也符合陰陽理論，1為陽，0為陰。再例如：人們把π和e與那些規整的數字比較，所以覺得e和π很亂，因此涉及“參照物”的問題。那麼，如果把π和e都換算成最樸素的二進制，並且把π和e這兩個混亂的數字相互比較，就會發現一部分數字規律，e的小數部分的前17位與π的小數部分的第5-21位正好是倒序關係，這麼長的倒序，或許不是巧合。
説明[ ]符號內為17位倒序區。
二進制π取部分值為11.0010[01000011111101101]010100010001000010110100011
二進制e取部分值為10.[10110111111000010]101000101100010100010101110110101
17位倒序區的意義：或許暗示e和π的發展初期可能按照某種彼此相反的規律發展，之後e和π都脱離了這個規律。但是，由於2進制只用0和1來表示數，因而出現相同，倒序相同，柵欄重排相同的情況不足為奇，雖然這種情況不一定是巧合，但思辨性結論不是科學結論，不應該作為科學證據使用。
自然對數複數的對數
問題：求複數
的對數，規定
為
的幅角主值。
解答：
設有一複數
，其通過指數函數
將
映射為
。
∴
由複數相等的定義，得到：
所以
，即
記
為對數函數，可以看到在複數中對數函數是多值函數（即一個自變量對應多個因變量），並且有無數個分支。特別地，當k=0時，稱
為對數函數的主值支，此時用記號
來表示。
即w的實部為z的模取自然對數，虛部為z的幅角主值。這就是當真數為複數時的對數運算公式。注意，因為實部需要對z的模取自然對數，因此r≠0。在複平面上只有0這個複數的模為0，其他任何複數的模都大於0，所以在複數域中，除了z=0以外所有的複數都可以求對數。
例：求ln(-1)
解：-1=cosπ+isinπ，其模為1，幅角主值為π。代入公式得：
自然對數運算法則
自然對數不等式一
前面已經説過，自然對數可以利用雙曲線下的面積來理解。由雙曲線圖象，可知：
當
時，
。
當
時，
，也就是説
。
所以説：
當
時，
。
當
時，
。
自然對數不等式二
由雙曲線圖象，可知：
當
時，
。
當
時，
。
所以説：
自然對數不等式三
由雙曲線圖象，可知：
當
時，
。
當
時，
。
所以説：
，其中等號當且僅當
時成立。
自然對數相關推論
自然對數推論一
證明
自然對數推論二
當
為正數時，
。
證明
自然對數推論三
當
為大於1的正整數時，
。
證明
自然對數推論四
證明
因為
，所以
，所以
，所以
，所以
。
所以：
所以
，從而有
。
自然對數推論五
證明
自然對數推論六
若
，則
。
證明
因
，所以
自然對數推論七
當
時，
。換言之，函數
在
上嚴格單調遞減。
證明
由推論六，
。
所以
所以
自然對數推論八
當
時，
。換言之，函數
在
上嚴格單調遞增。
證明
由推論六，
。
所以
所以
自然對數推論九
當
時，
。
證明
由推論六，
。所以
。
由於
，所以
，所以
。
所以
，所以
。
自然對數推論十
當
時，
，
，
。換言之函數
在
上嚴格單調遞減。
證明
因
，
。
所以
所以
，
。
