積分變限函數

設函數f(x)在區間[a,b]並且設x為[a,b]上的一點，考察下面函數：

注：1.函數變量是x，t為積分變量，兩者應注意區別。

2.積分變上限函數和積分變下限函數統稱積分變限函數。上式為積分變上限函數的表達式，當x與a位置互換後即為積分變下限函數的表達式，所以我們只討論積分變上限函數即可。

3.從幾何上看，這個積分上限函數Φ(x)表示區間[a，x]上曲邊梯形的面積．（如圖1）

積分變限函數與以前所接觸到的所有函數形式都很不一樣。首先，它是由定積分來定義的；其次，這個函數的自變量出現在積分上限或積分下限。

積分變限函數是一類重要的函數，它最著名的應用是在牛頓一萊布尼茲公式的證明中．事實上，積分變限函數是產生新函數的重要工具，尤其是它能表示非初等函數，同時能將積分學問題轉化為微分學問題。積分變限函數除了能拓展我們對函數概念的理解外，在許多場合都有重要的應用。

【定理一】若函數f(x)在區間[a,b]上可積，則積分變上限函數在[a,b]上連續。

導數定理

【定理二】如果函數f(x)在區間[a，b]上連續，則積分變上限函數在[a,b]上具有導數，並且導數為：

證明過程如下：

導數推廣

如果函數f(x)在區間[a，b]上連續，X0為[a，b]內任一點，則變動上積限積分滿足：

注：（1）區間a可為-∞，b可為+∞；

（2）此定理是變限積分的最重要的性質，掌握此定理需要注意兩點：第一，下限為常數，上限為參變量x（不是含x的其他表達式）；第二，被積函數f(x)中只含積分變量t，不含參變量x。

若函數f(x)在區間[a,b]上連續，則積分變上限函數就是f(x)在[a,b]上的一個原函數。

對數學思想的不斷積累並逐漸內化為自己的觀念是學習數學的重要目標．積分變限函數除了能拓展我們對函數概念的理解外，它可將積分學問題轉化為微分學的問題，在許多場合都有重要的應用． ^[1] 

利用變限積分求原函數

變限積分是為引入原函數而提出的，求原函數應是其最基本的應用．

化積分問題為微分問題

積分變限函數可將積分學問題轉化為微分學的問題，這是很重要的一條應用

用變限函數求定積分

很多函數的原函數是沒有辦法用初等函數表示，或者是不容易求出的，這時應用改寫變限函數會使問題得以解決。

變量替換是重要方法

變量替換是數學中重要的技巧之一，在積分中，變量替換具有特殊的意義，變限積分中的許多問題離開了變量替換就無從下手了，請見例題：