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原函數存在定理
鎖定
- 中文名
- 原函數存在定理
- 外文名
- Existence Theorem of Primitive Functions
- 學 科
- 數學
- 解 釋
- 存在定理為:若f(x)在[a,b]上連續
原函數存在定理定理內容
設f（x）在[a,b]上連續，則變上限積分
在[a,b]上可導，且其導數
原函數存在定理定理證明
由導數定義，只需證明
設x∈（a，b），給x一個改變量△x，使
則
由積分中值定理，有
其中ε介於x與x+△x之間，因△x正負未知，不確定x與x+△x的大小。
等式兩端除以△x，令△x→0，取極限
當△x→0時，x+△x→x，從而ε→x，又f（x）在[a,b]上連續，
所以，
該定理表明，設f（x）在[a,b]上連續，則必存在原函數且原函數為f（x）的變上限積分。
原函數存在定理推論
設f（x）在[a,b]上連續，φ（x），ω（x）在[α,β]上可導，a≤φ﹙x﹚≤b,a≤ω（x）≤b，x∈[a,b].
則
又ω（x）在[α,β]上可導，a≤ω（x）≤b
原函數存在定理與間斷點的關係
設F'（x）=f(x)，f（x）在x=x0處不連續，則x0必為第二類間斷點（對於考研數學，只能是第二類振盪間斷點），而非第一類間斷點或第二類無窮間斷點。
當f(x)存在第二類振盪間斷點時，不能確定是否存在原函數，這種情況下結論與f(x)的表達式有關。
原函數存在的三個結論：
如果f(x)連續，則一定存在原函數；
如果f(x)不連續，有第一類可去、跳躍間斷點或第二類無窮間斷點，那麼包含此間斷點的區間內，一定不存在原函數；
