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積分中值定理
鎖定
- 中文名
- 積分中值定理
- 外文名
- Mean value theorems for definite integrals
積分中值定理積分第一中值定理
設
在
上連續,因為閉區間上連續函數必有最大最小值,不妨設最大值為
,最小值為
,最大值和最小值可相等。
對
兩邊同時積分可得:
同除以
從而得到:
命題得證。
積分中值定理積分第二中值定理
積分中值定理形式
設
在
上可積,考慮下列兩種情況:
(1)
在
上單調遞減且在
時,
,
那麼存在
使得
.
(2)
在
上單調遞增且在
時,
,
積分中值定理證明
設
.因為
在
上是單調的,故可積,所以對任意
,存在分割
這裏用到阿貝爾變換,
同理有原式
得
,從而
積分中值定理幾何意義
積分中值定理推廣形式
積分中值定理第一定理
積分中值定理第二定理
二、如果函數
、
在閉區間[a,b]上可積,
並且是單調遞減函數,則在積分區間
上至少存在一個點
, 使下式成立:
積分中值定理定理應用
積分中值定理在應用中所起到的重要作用是可以使積分號去掉,或者使複雜的被積函數化為相對簡單的被積函數,從而使問題簡化。因此,對於證明有關題設中含有某個函數積分的等式或不等式,或者要證的結論中含有定積分,或者所求的極限式中含有定積分時,一般應考慮使用積分中值定理, 去掉積分號,或者化簡被積函數。
積分中值定理求極限
在函數極限的計算中, 如果含有定積分式, 常常可以運用定積分的相關知識, 比如積分中值定理等, 把積分號去掉。
積分中值定理問題運用
積分中值定理運用估計
在大多數的積分式中, 能找到其被積函數的原函數再進行求值的積分簡直是鳳毛麟角, 當被積函數“積不出”或者原函數很複雜時, 可用各種方法來估計積分。對於乘積型的被積函數, 將變化緩慢的部分或積分困難的部分進行估計, 可積的部分積分之。積分中值定理和各種不等式就是其中常用的方法,
[1]
積分中值定理不等式證明
積分不等式是指不等式中含有兩個以上積分的不等式,當積分區間相同時,先合併同一積分區間上的不同積分,根據被積函數所滿足的條件,靈靈活運用積分中值定理,以達到證明不等式成立的目的。