阿貝爾變換

阿貝爾變換（英語：Abel transformation，有別於Abel transform）也叫分部求和法（英語：Summation by parts）或阿貝爾引理（英語：Abel's lemma）是求和的一種方法。設

和

為兩個數列，則有

它被用來證明積分第二中值定理。

分部求和公式也可被寫成比較對稱的方式：

積分第二中值定理是與積分第一中值定理相互獨立的一個定理，屬於積分中值定理。它可以用來證明Dirichlet-Abel反常Riemann積分判別法。

若g，(f·g)均在[a,b]上Riemann可積且f(x)在[a,b]上單調，則存在[a,b]上的點ξ使

令g(x)=1，則原公式可化為：存在[a,b]上的點ξ使

分部積分法是種積分的技巧。它是由微分的乘法定則和微積分基本定理推導而來的。其基本思路是將不易求得結果的積分形式，轉化為等價的但易於求出結果的積分形式。

假設

與

是兩個連續可導函數。由乘積法則可知

對上述等式兩邊求不定積分，移項整理，得不定積分形式的分部積分方程

由以上等式我們可以推導出分部積分法在區間的定積分形式

已經積出的部分

可以代入上下限

表示為以下等式，

而以上這條等式可以通過函數求導乘積法則，以及微積分基本定理通過以下方式倒推並得以驗證

在傳統的微積分教材裏分部積分法通常寫成不定積分形式：

如果更簡單些，令

、

，微分

和

，就可以得到更常見到的形式：

注意，上面的原式中含有g的導數；在使用這個規則時必須先找到不定積分g，並且積分

必須是可積的。

在級數的離散分析中也可以用到類似的公式表達，稱為分部求和。

另一可用的表達方式可以將原表達方式裏的因子僅寫成f和g，但缺點是引進了鑲套積分：

這個表達方式只有當f是連續可導而且g是連續是才有效。

在黎曼-斯蒂爾吉斯積分和勒貝格-斯蒂爾吉斯積分有更多分部積分的公式。

提示：部分積分下面這樣更復雜一點的積分運算裏也是有效的：